ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI
§ 132 Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности
Теорема. Числовая последовательность не может иметь более одного предела.
Для доказательства предположим противное. Пусть некоторая числовая последовательность a1, a2,..., an, ... имеет несколько пределов. Допустим, что а и b — два таких предела. Для определенности будем считать, что а < b. Выберем положительное число ε так, чтобы отрезки (а — ε, а + ε) и (b — ε, b + ε) не перекрывались друг другом* (рис. 207).
* В качестве такого ε можно, например, взять
Тогда все числа нашей последовательности, начиная с некоторого, должны находиться, с одной стороны, в отрезке (а — ε, а + ε), а с другой — в отрезке (b — ε, b + ε). Но это невозможно, так как эти отрезки не перекрываются. Получено противоречие; значит, предположение о существовании двух различных пределов неверно.
Итак, любая числовая последовательность может иметь не более одного предела. А каждая ли числовая последовательность имеет предел? Чтобы выяснить этот вопрос, рассмотрим последовательность
—1, 1, —1, 1, —1, 1, ...
с общим членом
an = (—1)n.
Каждый ее член, стоящий на нечетном месте, изобразится на числовой прямой точкой с абсциссой —1, а каждый член, стоящий на четном месте, — точкой с абсциссой 1. Уже отсюда ясно, что если только эта последовательность имеет предел, то он равен либо —1, либо 1. Пусть, например, предел существует и равен —1. Тогда все члены последовательности, начиная с некоторого, должны укладываться, например, в интервале (—1—0,1; —1+0,1), или (—1,1; —0,9), что соответствует числу ε = 0,1 (рис. 208).
Но это не так, поскольку члены, равные 1, не попадают в этот интервал. Аналогично доказывается, что и 1 не является пределом рассматриваемой последовательности.
Таким образо,м, последовательность —1; 1; —1; 1; ... не имеет предела.
Рассмотрим еще один пример — натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ..., п, ... .
Точки числовой прямой, соответствующие членам этой последовательности (рис. 209 ), не скапливаются ни у какой точки.
Какую бы точку на числовой прямой мы ни взяли, точки, соответствующие натуральному ряду чисел, рано или поздно «перешагнут» через нее и уйдут как угодно далеко вправо. Следовательно, натуральный ряд чисел также не имеет предела.
Числовая последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела — расходящейся.
Например, последовательности
(см. примеры 1 и 2, § 131) являются сходящимися, а последовательности
— 1, 1, —1, 1, —1, 1, ... ,
1, 2, 3, 4, ...
— расходящимися.
Упражнение
951. Какие из данных последовательностей являются сходящимися и какие расходящимися:
|