ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 133. Монотонные и ограниченные последовательности

В предыдущем параграфе мы убедились, что не всякая числовая последoвательность имеет предел. Теперь возникает вопрос: как же решить, является ли та или иная последовательность сходящейся? Полное решение этой задачи выходит далеко за пределы школьной программы. Однако с одним довольно широким классом сходящихся числовых последовательностей мы познакомимся в этом параграфе. Справедливы следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства.

Теорема 1. Всякая монотонно возрастающая (неубывающая) и ограниченная сверху числовая последовательность сходится.

Теорема 2. Всякая монотонно убывающая (невозрастающая) и ограниченная снизу числовом последовательность сходится.

Поясним эти  теоремы на двух частных  примерах.

Пример 1. Последовательность

1;    1,4;    1,41;    1,414;    1,4142;   ...

составлена из десятичных приближений числа √2 с недостатком. Эта последовательность является монотонно возрастающей (точнее, монотонно неубывающей), поскольку каждый ее член, начиная со второго, получается из предыдущего путем приписывания соответствующего десятичного знака. Вместе с тем эта последовательность ограничена сверху, так как любой ее член меньше двух. Следовательно, по теореме 1 данная последовательность имеет предел. (Этим пределом является иррациональное число √2.)

Пример 2.    Последовательность

p₄,  p₈,   p₁₆,   ...

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., вписанных в некоторую окружность, является монотонно возрастающей (см. § 128) и ограниченной сверху (см. § 129). Следовательно, по теореме 1 существует предел этой последовательности. (К этому пределу мы еще вернемся в последующих параграфах.)

К аналогичному  результату  можно    прийти,     рассматривая последовательность

Р₄ , Р₈ , Р₁₆ , ...

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около некоторой окружности. Для этого придется использовать теорему 2.

В заключение отметим, что иногда указанные две теоремы объединяют   в   одну:

Любая  монотонная и   ограниченная  числовая   последовательность имеет предел.

Упражнения

952.  Докажите, что последовательность "*

монотонно убывает и ограничена снизу. Покажите, что пределом этой  последовательности  является число   1.

953.   Доказать,   что  последовательность

s₄,  s₈,   s₁₆,   s₃₂, ...

площадей правильных 4-, 8-, 16-, 32-уголышков и т. д., вписанных в одну и ту же окружность, является монотонно возрастающей и ограниченной.