ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 134. Число е

Рассмотрим  бесконечную  числовую  последовательность

(1+ 1/1 ),   (1+ 1/2 )2,   (1+ 1/3 )3,...       (1)

с  общим  членом

an = (1+ 1/n )n

Покажем, что эта последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной.

1)  Применим теорему   о среднем арифметическом и среднем геометрическом (см. гл. I, § 16) к п + 1 числу:

(1+ 1/n ), (1+ 1/n ), ... , (1+ 1/n ), 1;

получим

Возводя обе части последнего неравенства в (п + 1)-ю степень, получаем

или

an+1 > an

Тем  самым   доказано,   что рассматриваемая последовательность   является монотонно возрастающей.

2)  Теперь докажем, что наша последовательность является ограниченной Для этого рассмотрим еще одну последовательность:

(1— 1/1 ),   (1— 1/2 )2,   (1— 1/3 )3,...      (2)

с общим членом

bn = (1—  1/n )n

Аналогично тому, как мы доказали монотонность последовательности (1), может быть доказана и монотонность последовательности (2):

bn+1 > bn

Далее,

Поэтому   для   всех   п > 1

an = 1/bn

Так как последовательность (2) монотонно возрастает, все ее члены, начиная с третьего, больше второго члена. Поэтому для всех п > 3

bn > b2 = (1— 1/2 )2  = 1/4

Следовательно,  для  всех п > 3

an < 1/b2 < 4.

Это неравенство верно и при п = 1 и  п = 2, так что для всех натуральных п

0<  (1+  1/n )n  <  4.

Тем самым доказана ограниченность  последовательности (1).

Теперь на основании теоремы о пределе монотонной ограниченной последовательности можно  заключить, что предел последовательности (1) существует. Этот предел принято обозначать буквой е:

                (3)

Подсчитано, что е = 2,7182818284... .

Иногда для запоминания того или иного числа цифры этого числа связывают с какой-нибудь знаменательной датой. Легко, например, запомнить первые девять знаков числа е после запятой, если обратить внимание на то, что 1828 — это год рождения Льва Толстого!

Число е является иррациональным. Более того, как показал французский математик Э р м и т (1822—1901), это число не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа называются трансцендентными (см.  гл. II).

Предел (3) является одним из тех замечательных пределов, которые лежат в основе многих математических исследований. Число е играет особую роль в математике. Однако, если бы мы захотели убедиться в этом, нам пришлось бы заняться уже высшей математикой.

Используются технологии uCoz