ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 135. Переменные величины и их пределы

Общий член любой числовой последовательности можно рассматривать как переменную величину. Например, последовательность

1 , ¹/₂ , ¹/₃ , ¹/₄ , ...

имеет  общий   член а_n = ¹/_n. При разных значениях п величина а_n  принимает разные числовые значения и потому является переменной величиной.

Итак, с каждой числовой последовательностью можно связать некоторую переменную величину. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, с переменной величиной t, представляющей собой время, нельзя связать никакую числовую последовательность. Члены числовой последовательности изменяются скачками. Если мы будем изображать члены последовательности точками числовой прямой, то всю числовую прямую при этом мы  не заполним  (рис.   210).

А вот со временем дело обстоит иначе. Время течет н е п р е р ы в н о. Поэтому все моменты времени нельзя занумеровать как члены некоторой числовой  последовательности.

В этой главе мы будем изучать лишь такие переменные величины, которые можно рассматривать как общие члены некоторых числовых последовательностей. Такие переменные величины мы будем обозначать символами а_n, b_n, c_n и т. д.

Пределом переменной величины а_n называется предел числовой последовательности, для которой а_n есть общий член.

Например,  предел  переменной величины

а_n = ¹/_n

есть по определению предел последовательности

1 , ¹/₂ , ¹/₃ , ¹/₄ , ..., ¹/_n .....

Очевидно, что предел переменной величины можно определить и  таким  образом.

Число а называется пределом переменной величины а_n, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что для всех п > N

|а_n — а|< ε.

Так же как и числовые последовательности, переменные величины могут иметь,  а могут и не иметь   предела.  

Например, переменная величина   (См. § 131, пример 2) имеет предел, а переменная величине а_n = (—1)ⁿ (см. § 132) не имеет предела.

Над переменными величинами можно производить те же самые действия, что и над постоянными величинами (то есть числами).

Например, умножив переменную величину а_n = ¹/_n на 3, получим переменную величину b_n = ³/_n. При сложении переменных величин  а_n = — ¹/_n+1  и  b_n = ¹/_n получается переменная величина