ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 137.    qⁿ  при   | q |< 1

В этом параграфе мы докажем, что если  | q |< 1, то предел

 qⁿ

существует и равен нулю.  Нам придется рассмотреть отдельно два случая:   q > 0 и      q <  0.

Случай 1. 0 < q <. I. Прежде всего заметим, что    qⁿ   является  пределом числовой  последовательности

q,   q²,   q³,  ...,   qⁿ.....                           (1)

Эта последовательность при 0< q <. 1 будет монотонно убывающей (qⁿ⁺¹ < qⁿ) и ограниченной (0 <. qⁿ <. 1). Поэтому она имеет предел. Обозначим этот предел буквой с и докажем, что с = 0. Если из последовательности (1) выбросить первый член, то получится   последовательность

  q²,   q³, q⁴, ...,   qⁿ⁺¹.....                     (2)

которая, очевидно, имеет тот же самый предел с,   что  и последовательность (1)- Общий член последовательности (1)  есть  а_n = qⁿ, а последовательности (2) b_n = qⁿ⁺¹. Имеем:

 qⁿ= с,

 qⁿ⁺¹ = с.

Но qⁿ⁺¹ = q • qⁿ Поэтому

с =  qⁿ⁺¹ =  (q • qⁿ) = q  qⁿ  = qc.

Итак, с = qc, откуда с = 0, поскольку q =/=1. Таким образом, при 0 < q < 1 предел  qⁿ существует и равен нулю.

Случай   2. —1 < q < 0.  Докажем, что и в этом случае

 qⁿ

существует и  равен  0.  Имеем:

| qⁿ — 0 | = | qⁿ |  = | q |ⁿ.

Поскольку   | q |< 1, то  | q |ⁿ   при   возрастании  п стремится   к нулю  (случай   1).

Следовательно, с ростом п выражение | qⁿ | становится и остается меньше любого наперед заданного положительного числа. Поэтому, каково бы ни было положительное число ε , можно  указать такой номер п, начиная с которого будет выполняться неравенство

.  | qⁿ — 0 | < ε .

Но это и означает, что

 qⁿ = 0

Упражнения

960.   Что вы можете сказать о пределе   qⁿ, если:

а)  | q | = 1;

б)  | q | >1?

961.   Существует ли   qⁿ  при:

a) q = ^π/₃;     6) q = — ^π/₄,        в) q = — 2;        г) q = ?

ОТВЕТЫ

961. а) Нет;   б) да;   г) да при а < 0; нет при а > 0.