ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI
§ 138. Что такое длина окружности
В главе II мы говорили о том, что такое длина прямолинейного отрезка. Чтобы измерить прямолинейный отрезок АВ (рис. 211), нужно выбрать единицу измерения (например, отрезок CD) и сравнить АВ с этой единицей измерения.
Длина отрезка АВ есть число, показывающее, сколько раз единица измерения укладывается в этом отрезке.
А что понимать под длиной окружности? Ведь окружность — кривая линия и откладывать на ней отрезок CD нельзя. Таким образом, мы сталкиваемся с необходимостью определить, что такое длина окружности.
Пусть
p4 , p8 , p16 , ... , , ... (1)
— последовательность периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., вписанных в окружность радиуса r. Как мы уже говорили раньше (§ 133), эта последовательность монотонно возрастает и ограничена. Поэтому существует предел
р =
Этот предел мы и назовем длиной окружности радиуса r.
Впишем теперь в окружность радиуса r не 4-, 8-, 16-угольники и т. д., а, например, правильные 3-, 6-, 12-угольники и т. д., периметры которых образуют последовательность
p3 , p6 , p12 , ... , , ... (2)
Эта последовательность также монотонно возрастает, ограничена и, следовательно, имеет предел
p' =
Этот предел р', как и предел р, также естественно назвать длиной окружности. Но возникает вопрос: равны ли между собой числа р и р'? Ведь если бы эти числа оказались различными, то принятое нами определение длины окружности было бы неудачным.
Можно доказать, что числа р и р' равны между собой. Вообще, как бы мы ни вписывали в окружность правильные многоугольники, получая каждый последующий путем удвоения числа сторон предыдущего, последовательность периметров этих многоугольников всегда будет сходиться к одному и тому же числу, принимаемому за длину окружности. Более того, если каждый последующий многоугольник мы будем получать не обязательно путем удвоения числа сторон предыдущего, а каким-нибудь другим способом (например, вписывать правильные 3-, 4-, 5-, 6-уголь-ники и т. д.), то все равно последовательность периметров этих многоугольников будет сходиться и притом к тому же самому числу р, что и последовательность (1).
Доказательство этих утверждений выходит за. пределы школьной программы и потому здесь не приводится.
Итак, мы принимаем следующее определение длины окружности :
длина р окружности радиуса r есть предел последовательности
p3 , p4 , p5 , ... , pn, ...
периметров правильных 3-, 4-, 5 -угольников и т. д., вписанных в эту окружность:
р = pn
Упражнение
962. Теперь мы знаем, как определяются длины прямолинейных отрезков и окружностей. А как бы вы определили длину произвольной кривой (см., например, рис.212)?
|