ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 138. Что такое длина окружности

В главе II мы говорили о том, что такое длина прямолинейного отрезка. Чтобы измерить прямолинейный отрезок АВ (рис. 211), нужно выбрать единицу измерения (например, отрезок CD) и сравнить АВ с этой единицей измерения.

Длина отрезка АВ есть число, показывающее, сколько раз единица измерения укладывается в этом отрезке.

А что понимать под длиной окружности? Ведь  окружность — кривая линия и откладывать на ней отрезок CD нельзя. Таким образом, мы сталкиваемся с необходимостью определить, что такое длина окружности.

Пусть

p4 ,  p8 ,  p16 , ... , ,  ...                            (1)

— последовательность периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., вписанных в окружность радиуса r. Как мы уже говорили раньше (§ 133), эта последовательность монотонно возрастает и ограничена. Поэтому существует предел

р =

Этот предел мы и назовем длиной окружности радиуса r.

Впишем теперь в окружность радиуса r не 4-, 8-, 16-угольники и т. д., а,  например, правильные 3-, 6-, 12-угольники и т. д., периметры   которых   образуют   последовательность

p3 ,  p6 ,  p12 , ... , ,  ...         (2)

Эта последовательность также монотонно возрастает, ограничена и, следовательно, имеет предел

p' =

Этот предел р', как и предел р, также естественно назвать длиной окружности. Но возникает вопрос: равны ли между собой числа р и р'? Ведь если бы эти числа оказались различными, то принятое нами определение длины окружности было бы неудачным.

Можно доказать, что числа р и р' равны между собой. Вообще, как бы мы ни вписывали в окружность правильные многоугольники, получая каждый последующий путем удвоения числа сторон предыдущего, последовательность периметров этих многоугольников всегда будет сходиться к одному и тому же числу, принимаемому за длину окружности. Более того, если каждый последующий многоугольник мы будем получать не обязательно путем удвоения числа сторон предыдущего, а каким-нибудь другим способом (например, вписывать правильные 3-, 4-, 5-, 6-уголь-ники и т. д.), то все равно последовательность периметров этих многоугольников будет сходиться и притом к тому же самому числу р,  что и  последовательность  (1).

Доказательство этих утверждений выходит за. пределы школьной программы и потому здесь не приводится.

Итак, мы принимаем следующее определение длины окружности :

длина р окружности радиуса r есть предел последовательности

p3 ,  p4 ,  p5 , ... , pn,  ...    

периметров правильных 3-, 4-, 5 -угольников и т. д., вписанных в эту окружность:

р =  pn

Упражнение

962. Теперь мы знаем, как определяются длины прямолинейных отрезков и окружностей. А как бы вы определили длину произвольной кривой (см., например, рис.212)?

Используются технологии uCoz