|
|
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI § 139. Формула для нахождения длины окружности Лемма. Отношение длины окружности к ее диаметру постоянно для всех окружностей. Предположим, что A1B1 и А2В2 — стороны правильных n-угольников, вписанных в окружности O1 и O2 соответственно (рис. 213).
Тогда треугольники O1A1B1 и О2В2А2 как треугольники с соответственно равными углами, будут подобны; поэтому
Умножая обе части этого равенства на n/2, получим:
Но п • A1B1= р'п, п • А2В2 = р''п, где р'п и р''п— периметры правильных n-угольников, вписанных в окружности O1 и O2, соответственно. Следовательно,
где r1 и r2 —радиусы окружностей O1 и O2 соответственно. Поскольку существуют пределы р' =
В силу (1) эта пределы должны быть равны. Поэтому
Это равенство как раз и означает, что отношение длины окружности к ее диаметру постоянно для всех окружностей. Отношение длины окружности к ее диаметру принято обозначать греческой буквой π («пи»).Подсчитано, что π = 3,141592... Для практических потребностей достаточно запомнить лишь три-четыре цифры после запятой. Итак, для окружности радиуса r p/2r= π откуда р = 2πr. Длина окружности равна произведению ее диаметра на число π. В разные времена использовались различные приближения числа π. Один из величайших математиков древней Греции А р х и м е д (III век до н. э.).нашел довольно точное приближение для π : 3 1/7, что дает два верных десятичных знака. В XVI веке было получено приближенное значение π с 35 верными десятичными знаками, в XIX —с 527 верными десятичными знаками и т. д. Наибольшее число правильных десятичных знаков числа π (10 000) было получено с помощью счетной машины в 1958 году. Швейцарский математик Ламберт (1728 —1777) доказал, что число π является иррациональным. Немецкий ученый Линдеманн (1852—1839) усилил этот результат, доказав, что число π не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа, как известно, называются трансцендентными. |
(1)
p'n и р'' = 
(2)
(3)