ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 140 Нахождение приближенных значений числа π

Для нахождения приближенных значений числа π представим  это число в виде отношения ^p/_2•1 длины окружности радиуса 1 к диаметру, то есть как половину длины окружности радиуса 1. Если вместо половины длины такой окружности взять половину периметра правильного n-угольника, вписанного в нее, то вместо точного значения π получится его приближенное значение.  С ростом п это приближенное значение должно стремиться к точному значению.  Следовательно,

π ≈ ^pn/₂

где р_п — периметр правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Но р_п = п • a_п, где a_п — сторона правильного n-угольника. Поэтому

             (1)

Теперь воспользуемся известной из геометрии формулой удвоения. Согласно этой формуле стороны a_п и a_2n правильных п- и 2n-угольников, вписанных в окружность радиуса r, связаны соотношением

При r = 1  это соотношение принимает вид:

                     (2)

Вспомним еще,  что сторона a₆ правильного шестиугольника,  вписанного в окружность,  равна радиусу этой окружности.  Поэтому по формуле   (2) найдем:

Затем по формуле (2)  найдем a₂₄:

Отсюда a₂₄ ≈ 0,26104. Затем по формуле (2) можно найти a₄₈, a₉₆ и т.   д. После этого составим таблицу приближенных значений a_п и π:

Из этой таблицы видно, что уже при п =  96 получается два верных десятичных знака числа π.