ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 143. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Теорема. Каждый член арифметической прогрессия начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

Другими словами, при любом п > 2

Действительно,   при   любом   п > 2

a_n = a_n—1  + d

a_n = a_n+1  — d

Почленное сложение этих равенств дает:

2a_n = a_n—1 + a_n+1

откуда и вытекает соотношение (1).

Верна и теорема, обратная к только что доказанной.

Если каждый член числовой последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов, то такая числовая последовательность является арифметической прогрессией.

Попробуйте  доказать   это   самостоятельно. Отмеченное в  этом  параграфе свойство определяет,  в частности, причину названия «арифметическая прогрессия».