ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 144. Сумма членов арифметической прогрессии

Рассказывают, что однажды учитель начальной школы, желая занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал детям «трудное» задание — вычислить сумму всех натуральных  чисел  от  1  до   100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

Один из учеников моментально предложил решение. Вот оно.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 • 50 = 5050.
50 раз                        

Это был Карл Гаусс, ставший потом одним из самых знаменитых математиков мира*.

*Подобный случай с Гауссом действительно имел место. Однако здесь он значительно упрощен. Предложенные учителем числа были пятизначными и составляли арифметическую прогрессию с трехзначной разностью.

Идею такого решения можно использовать для нахождения суммы членов любой арифметической прогрессий.

Лемма. Сумма двух членов конечной арифметической прогрессии, равноудаленных от концов, равна сумме крайних членов.

Например, в конечной арифметической прогрессии

1, 2, 3.....98, 99, 100

члены 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97 и т. д. являются равноудаленными от концов этой прогрессии. Поэтому их суммы 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 равны сумме крайних членов 1 + 100.

Доказательство леммы. Пусть в конечной арифметической прогрессии

a₁, a₂  , ...,  a_n—1 , a_n

два каких-нибудь члена одинаково удалены от  концов.   Предположим, что один из них есть k-й член слева, то есть a_k, а    другой — k-й член справа, то есть a_n—k+1. Тогда

a_k + a_n—k+1=[a₁+ (k — 1 )d] + [a₁ + (п — k)d] =  2a₁ + (n — 1)d.

Сумма крайних членов, данной прогрессии равна

a₁ + a_n = a₁  + [a₁ + (n — 1)d] = 2a₁ + (n — 1)d.

Таким образом,

a_k + a_n—k+1 = a₁ + a_n

что  и   требовалось  доказать.

Используя доказанную лемму, легко получить общую формулу для суммы п членов любой арифметической прогрессии.

Имеем:

S_n = a₁+a₂  + ...+  a_n—1 + a_n

S_n = a_n+ a_n—1 +  ... + a₂ + a₁.

Складывая эти два равенства почленно, получаем:

2S_n = (a₁+a_n) + (a₂+a_n—1 )+...+(a_n—1+a₂) + (a_n+a₁)

но

a₁+a_n = a₂+a_n—1 = a₃+a_n—2 =... .

Поэтому

2S_n = n (a₁+a_n),

откуда

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число всех членов.

В частности,

Упражнения

971. Найти сумму всех нечетных трехзначных чисел.

972.   Сколько ударов сделают часы в течение суток, если они отбивают только  число целых часов?

973.   Чему равна сумма первых п чисел натурального ряда?

974.   Вывести формулу длины пути,  пройденного телом при равномерно ускоренном движении:

где v₀ — начальная скорость в м / сек , а — ускорение в  м / сек², t — время движения  в  сек.

975.   Найти  сумму  всех  несократимых дробей  со знаменателем 3,   заключенных  между  целыми   положительными    числами т и п (т < п).

976.   Рабочий  обслуживает   16 ткацких  станков,  работающих автоматически.   Производительность  каждого  станка  а м/ч. Рабочий включил первый станок в 7 ч, а каждый следующий на 5 мин позже предыдущего. Узнать выработку в метрах за первые 2 ч работы.

977.   Решить уравнения:

а)   1 + 7 + 13 + ... + х = 280;

б)  (х + 1) + (х + 4) + (х + 7) +...+ (х + 28) = 155

978.   С 1  по  12 июля включительно   температура  воздуха ежедневно поднималась в среднем на ¹/₂ градуса. Зная, что средняя, температура за это время оказалась равной   18³/₄ градуса, определить, какой была температура воздуха 1 июля.

979.    Найти  арифметическую прогрессию,   у  которой  среднее арифметическое п первых членов при любом п равно их числу.

980.    Найти   сумму  первых двадцати   членов   арифметической прогрессии,  в которой

a₆ + a₉ + a₁₂ + a₁₅ = 20.

ОТВЕТЫ