ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 146. Характеристическое свойство геометрический прогрессии
с положительными членами

Для любой геометрической прогрессии с положительными членами верна следующая теорема, которая, в частности, объясняет название «геометрическая прогрессия».

Теорема. Любой член геометрической прогрессии с положительными членами

a₁, a₂, ... ,a_{n — 1} ,  a_n , a_{n + 1} , ...

начиная со второго, равен  среднему геометрическому соседних с ним членов.

Другими  словами,   при  п > 2

         (1)

Действительно, при п > 2

Поэтому

a_n² = a_{n — 1} • a_{n + 1}

откуда и вытекает равенство (1).

На геометрические прогрессии, содержащие отрицательные члены, эта теорема не распространяется: ведь среднее геометрическое определено только для положительных чисел.

Верна и теорема, обратная к только что доказанной.

Если каждый член числовой последовательности с положительными членами, начиная со второго,  равен среднему геометрическому соседних с ним членов, то такая последовательность является геометрической прогрессией.

Попробуйте доказать это самостоятельно!