ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 147 Сумма членов геометрической прогрессии

Пусть S_n есть сумма п членов  геометрической   прогрессии a₁, a₁q,  a₁q², ... :

S_n = a₁ + a₁q + a₁q² +... + a₁q ^{n — 1}                   (1)

Если знаменатель прогрессии q равен 1, то S_n = п • a₁. Если же он отличен от 1, то поступим следующим образом. Умножим равенство (1) почленно на q ; в результате получим:

qS_n = a₁q + a₁q² + a₁q³ + ... + a₁q ⁿ.                     (2)

Затем вычтем почленно из равенства (1) равенство (2):

S_n— qS_n = [a₁+(a₁q + a₁q² +...+ a₁q ^{n — 1})] — [(a₁q + a₁q² + a₁q³ +...+ a₁q ^{n — 1})+ a₁q ⁿ] = = a₁ — a₁q ⁿ = a₁(1 — q ⁿ ) Итак,

(1 — q)S_n = a₁(1 — q ⁿ ),

откуда

           (3)

Таким образом, если знаменатель геометрической прогрессии не равен единице, то сумма п первых членов этой прогрессии равна дроби, в числителе которой стоит произведение первого члена на единицу минус п-я степень знаменателя прогрессии, а в знаменателе дроби — единица минус знаменатель прогрессии.

Примеры.

Существует предание, по которому индийский принц Сирам (VI век)., предложил изобретателю шахмат любую награду, которую только тот захочет. Изобретатель попросил, чтобы за первую клетку шахматной доски ему дали одно пшеничное зерно, за вторую — два, за третью — четыре и т. д. — за каждую следующую клетку вдвое больше, чем за предыдущую.Такое «скромное» желание удивило принца, но он согласился. Когда же подсчитали количество зерен пшеницы, которое следовало выдать за все 64 клетки шахматной доски, то оказалось, что награда в этом размере не может быть выдана.  Действительно, требуемое  количество зерен  равно:

Если бы такое число зерен равномерно рассыпать по всей земной суше, то образовался бы слой пшеницы толщиной около 9 мм.

Упражнения

989.   Найти суммы:

990.   За одно качание воздушный насос откачивает — часть воздуха. Сколько процентов воздуха останется после 10 качаний?

991. Бактерия,  попав в живой организм,  к концу 20-й минуты делится на две; каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т. д. Найти число бактерий, образовавшихся из одной бактерии к концу суток.

992. Доказать, что в геометрической прогрессии, имеющей четное число членов, отношение суммы членов, стоящих на четных местах, к сумме членов, стоящих на нечетных местах, равно знаменателю  прогрессии.

993. Решить  уравнения:

а) 1 + х + х² + х³ +... + x⁹⁹ = 0;

б) 1 + х + х² + х³ +... + x¹⁰⁰ = 0 .

994. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если от первого числа отнять 5, от второго 4, а третье число оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию.   Найти  заданные числа.

ОТВЕТЫ