ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ l48. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

До сих пор, говоря о суммах, мы всегда предполагали, что число слагаемых в этих суммах конечно (например, 2, 15, 1000 и т. д.). Но при решении некоторых задач (особенно высшей математики) приходится сталкиваться и с суммами бесконечного числа слагаемых

S = a₁ + a₂ + ... + a_n + ... .                                 (1)

Что же представляют из себя такие суммы? По определению суммой бесконечного числа слагаемых a₁, a₂, ..., a_n, ... называется предел суммы S_n первых п чисел, когда п—> ∞:

S = S_n = (a₁ + a₂ + ... + a_n).                     (2)

Предел (2), конечно, может существовать, а может и не существовать. Соответственно этому говорят, что сумма (1) существует   или   не  существует.

Как же выяснить, существует ли сумма (1) в каждом конкретном случае? Общее решение этого вопроса выходит далеко за пределы нашей программы. Однако существует один важный частный случай, который нам предстоит сейчас рассмотреть. Речь будет идти о суммировании членов бесконечно убывающей геометрической   прогрессии.

Пусть a₁ , a₁q , a₁q², ...— бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это означает, что | q |< 1. Сумма первых п членов  этой   прогрессии   равна

Из основных теорем о пределах переменных величин (см. § 136) получаем:

Но      1 =  1,    a      qⁿ = 0.   Поэтому

Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии.

Примеры.

1)  Сумма геометрической прогрессии 1, ¹/₃ , ¹/₉ , ¹/₂₇  ,    ...   равна

а сумма геометрической прогрессии  12; —6; 3; — ³/₂,  ...    равна

2)   Простую периодическую дробь 0,454545  ... обратить в обыкновенную.

Для решения этой задачи представим данную дробь в виде бесконечной  суммы:

Правая часть этого равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей  геометрической прогрессии, первый член которой равен ⁴⁵/₁₀₀, а знаменатель ¹/₁₀₀. Поэтому

Описанным способом может быть получено и общее правило обращения простых периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II,  § 38):

Для обращения простой периодической дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе — число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.

3)  Смешанную  периодическую дробь 0,58333 .... обратить в обыкновенную.

Представим данную дробь в виде бесконечной суммы:

В правой части этого равенства все слагаемые, начиная с ³/₁₀₀₀,   образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен  ³/₁₀₀₀, а знаменатель ¹/₁₀. Поэтому

Описанным способом может быть получено и общее правило обращения смешанных периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38). Мы сознательно не приводим его здесь. Запоминать это громоздкое правило нет необходимости. Гораздо полезнее знать, что любую смешанную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и некоторого   числа. А формулу

для   суммы   бесконечно   убывающей  геометрической   прогрессии нужно,   конечно, помнить.

В качестве упражнения предлагаем вам, помимо приведенных ниже задач № 995—1000, еще раз обратиться к задаче  № 301 § 38 .

Упражнения

995.   Что называется суммой бесконечно убывающей геометрической  прогрессии?

996.   Найти  суммы бесконечно  убывающих     геометрических прогрессий:

997.   При каких значениях х прогрессия

является бесконечно убывающей? Найти сумму такой прогрессии.

998.   В  равносторонний  треугольник  со  стороной  а   вписан посредством соединения середин его сторон новый   треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности.

Найти:

а)  сумму периметров всех этих треугольников;

б)  сумму их  площадей.

999.   В  квадрат со стороной а вписан  путем соединения середин его сторон новый квадрат; в этот квадрат таким  же   образом вписан квадрат и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих квадратов и сумму их площадей.

1000.   Составить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, такую, чтобы сумма ее равнялась ²⁵/₄, а   сумма   квадратов ее членов равнялась ⁶²⁵/₂₄.

ОТВЕТЫ