ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

Задачи нa повторение

1001.   Будет ли  последовательность

1; —1; 2; —2;3; —3; 4; — 4; ...:

а)  ограниченной  снизу;

б)  ограниченной сверху?

1002.    Доказать,   что   всякая   последовательность,   имеющая предел, ограничена. Верно ли обратное утверждение? Ответ пояснить  примерами.

1003.   Является ли  последовательность   всех    положительных корней  уравнения  sin ¹/_x = 0;

а)  конечной;

б)  ограниченной?             .

1004. а) Последовательность a₁, a₂, a₃, ... образует арифметическую прогрессию. Будет ли арифметической прогрессией последовательность |a₁|, |a₂|, |a₃|, ... ?

б) Последовательность a₁, a₂, a₃, ... образует геометрическую прогрессию. Будет ли геометрической прогрессией последовательность |a₁|, |a₂|, |a₃|, ... ?

1005. Докажите, что всякая арифметическая прогрессия представляет собой монотонную последовательность. Верно ли это для геометрической прогрессии?

1006.  При каком значении х числа

√x ,   ³√x ,   ⁴√x

а)  образуют арифметическую прогрессию;

б)  образуют геометрическую прогрессию;

в)  образуют  одновременно  и   арифметическую  и  геометрическую прогрессии?

1007.   Найти сумму

( a + ¹/_a ) ² +   ( a² + ¹/_a² ) ² + ... + ( a ⁿ + ¹/_aⁿ ) ² .

1008. B  геометрической   прогрессии   а_т+п = А,    а_т—п = В. Найти а_т и а_n.

1009. Существуют ли такие три числа, которые одновременно являются первыми членами некоторой арифметической и некоторой геометрической прогрессии?

1010.   В какой арифметической прогрессии сумма двух, любых ее членов является членом той же прогрессии?

1011.   Могут ли стороны прямоугольного треугольника образовывать:

а)  арифметическую прогрессию;

б)   геометрическую   прогрессию?

1012.    В арифметической   прогрессии  а_т+п = А,    а_т—п = В. Найти а_т и а_n.

1013.   Могут ли сумма и разность двух членов  арифметической прогрессии быть  последовательными членами той же прогрессии? Если могут, то в каком случае?

1014.   Найти    арифметическую   прогрессию, если сумма 7-го и 9-го ее членов равна 30, а произведение 6-го и 10-го членов равно 209.

1015.  Доказать, что если в арифметической  прогрессии для некоторых р и  q (p=/= q) S_p =  S_q, то  S_p+q = 0.

1016.    Найти   3-й  и   10-й  члены   геометрической  прогрессии, если их сумма равна —2, а произведение 2-го и 11-го членов этой прогрессии   равно    — 3.

1017*. Могут ли числа 10, 11, 12 быть членами (не обязательно соседними) одной и той же геометрической прогрессии?

1018. В круг, радиус которого равен R, вписан квадрат; в квадрат вписан круг, а в этот круг вписан новый квадрат и так далее до бесконечности. Определить сумму площадей всех этих кругов и сумму площадей всех квадратов.

1019.  Построить график функции

1020. Три числа, составляющие арифметическую прогрессию, дают в сумме 3. Найти эти числа, если при прибавлении к ним соответственно 1, 7 и 17 получается геометрическая прогрессия.

1021.   Сумма трех  чисел,  составляющих  возрастающую  геометрическую прогрессию, равна 65.  Если от меньшего из этих чисел отнять 1, а от  большего   19,   то   полученные три   числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

1022.   Найти четыре целых числа, из которых  первые  три составляют арифметическую,  а последние три — геометрическую прогрессию, если известно, что сумма крайних чисел равна 37, а сумма средних  36.

1023*.   Можно ли из чисел ¹/₂,  ¹/₄, ¹/₈, ... , ¹/₂ⁿ, ... выбрать бесконечную геометрическую прогрессию, сумма которой равна:

а) ¹/₅;     б) ¹/₇?

ОТВЕТЫ