ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 15 Некоторые способы доказательства неравенств

Доказать неравенство, содержащее некоторые буквы, — это значит показать, что ему удовлетворяют любые допустимые или специально указанные значения этих букв.

Существуют различные способы доказательства неравенств. Проиллюстрируем некоторые из них на конкретных примерах.

Пример 1. Доказать, что любые положительные числа а и b удовлетворяют неравенству

                (1)

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда a = b .

1-й способ. Рассмотрим разность

Ее можно привести к виду:

Но (√a  — √b )2 > 0.

Поэтому .   А это и означает, что .

Знак равенства в формуле (1) имеет место тогда и только тогда, когда √a  — √b  = 0, т. е   при а = b.

2-й способ. Предположим,  что данное неравенство верно. Тогда, умножив обе его части на 2, получим:

а + b > 2 √ab .

Перенесем 2 √ab в левую часть:

а + b — 2 √ab  > 0.

Наконец, перепишем полученное неравенство в виде

(√a  — √b )2 > 0.                           (2)

Последнее неравенство, очевидно, верно для любых положительных чисел а и b, причем равенство в нем достигается тогда и только тогда, когда а = b. Таким образом, данное неравенство мы свели к очевидному неравенству. Теперь, производя все рассуждения в обратном порядке, мы докажем данное неравенство.

Для любых, положительных чисел а и b имеем:

(√a  — √b )2 > 0,

или

a — 2 √ab + b > 0.

Знак равенства при   этом   имеет   место тогда   и   только   тогда, когда а = b. Перенося — 2√ab в правую часть, получаем а + b > 2√ab, откуда  .

Сразу трудно было догадаться, что при доказательстве неравенства (1) нужно исходить из очевидного неравенства (2). Вот почему предварительно нам пришлось сделать допущение, что неравенство (1) верно, и получить при этом допущении неравенство (2).

Пример 2. Доказать, что если произведение положительных чисел х и у  равно 1, то   (1 + x)(1 + у) > 4.

Доказательство. Полагая в только что доказанном неравенстве

а = 1, b = х, получим  или 1 + х > 2√x

Аналогично показывается, что 1 + y > 2√y.   Почленное   умножение   полученных неравенств дает:

(1 + х)(1+у) > 2√x •2√y,

или

(1 + х)(1+у) > 4√xy.

Но по условию ху = 1. Поэтому

(1 + х)(1+у) > 4.

Упражнения

Доказать неравенства (№ 111—117) :

118. Самолет летит из Москвы в Киев и возвращается обратно. В какую погоду этот рейс будет совершен быстрее: в безветренную или при ветре, дующем с постоянной силой в направлении Москва — Киев?

119. Доказать, что полупериметр треугольника больше каждой из его сторон.

120*. Доказать неравенство

1/2 3/4 • 5/6 • 7/8 •   •••   •  99/100 < 1/10

ОТВЕТЫ

118. Быстрее в безветренную погоду.

Используются технологии uCoz