ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 17 Теоремы о постоянной сумме и постоянном произведении

Из теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом вытекают две важные теоремы, которые очень часто используются при решении практических задач.

Теорема о постоянной сумме. Если сумма двух положительных величин постоянна, то их произведение будет наибольшим тогда и только тогда, когда эти величины примут равные значения.

Например, если сумма двух положительных величин а и  b равна  10, то возможны случаи:   а = 1, b = 9;  а = 2, b = 8;  а = 3,5, b = 6,5;  а = 4,1, b = 5,9;  а = 5, b = 5 и т.,д.

Этим случаям соответствуют следующие значения  произведения  ab:  9;   16;   22,75;   24,19;   25    Наибольшее  произведение (25)  будет при а= b = 5.

Доказательство теоремы Пусть сумма двух положительных величин а и b равна с. Тогда по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом получаем:

При этом, если а = b, то √ab = ^c/₂;    если    же   а =/= b ,  то √ab  < ^c/₂

Следовательно, √ab будет наибольшим при а = b. Но тогда, очевидно, и подкоренное выражение ab будет наибольшим при а = b.

Задача. Какой наибольший по площади прямоугольный участок можно огородить забором длины  l ?

Решение.   Пусть длина участка равна х, а ширина у. Тогда площадь его будет равна ху. По условию задачи 2x + 2у = l , или х + у = ^l/₂. Так как

сумма х + у постоянна, то произведение ху будет наибольшим при х = у. Следовательно, если мы хотим забором длины l огородить наибольший по площади прямоугольный участок, то должны огораживать участок, имеющий форму квадрата. Сторона такого квадрата равна ^l/₄, а площадь l² /16

Теорема о постоянном произведении. Если произведение двух положительных величин постоянно, то их сумма будет наименьшей тогда и только тогда, когдa эти величины примут равные значения.

Например, если произведение двух положительных величин а  и b равно 16, то возможны случаи: а = 1, b =16; а =2, b = 8; а =4, b = 4; а = 5, b = ¹⁶/₅   и т . д. Этим случаям соответствуют суммы а + b: 17; 10; 8; 8 ¹/₅ и т. д.

Наименьшая сумма (8) будет при а = b = 4.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы о постоянной сумме. Предлагаем учащимся провести его самостоятельно.

Задача. Какую наименьшую длину должен иметь забор, чтобы им можно было огородить прямоугольный участок, площадь которого равна  S?

Решение. Пусть длина прямоугольного участка равна х, а ширина у. Тогда длина забора будет равна 2(х + у). Площадь участка равна ху = S

Так  как произведение ху постоянно, то сумма  х + у будет наименьшей при х = у =√S . Следовательно,     наименьшая     длина     забора     равна

2 (√S+ √S) =  4√S

Упражнения

133.   При  каких положительных значениях а данные выражения принимают   наибольшие   числовые   значения:

а) а(8 — а);      б) (1 + 2а) (3 — 2а); в)*   а √10 — а² ?

134.   При каких положительных значениях а данные выражения принимают наименьшие числовые значения:

135.   В  круг радиуса R вписать прямоугольник наибольшей   площади.

136.   Из круглой балки данного диаметра d требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения так, чтобы количество отходов было наименьшим    Найти   площадь   этого   сечения.

137.   Окно имеет форму прямоугольника.   Какова должна быть длина и ширина этого окна, чтобы оно при данном периметре р пропускало наибольшее  количество света?

Указание. Количество пропускаемого света тем больше, чем больше площадь окна.

138    Решить  уравнения:

а)  х + ¹/_x =2;           б)  х + ¹/_x = 1,5;         в)  х + ¹/_x = — 2.

139*. Одна бригада увеличивала производительность труда ежемесячно на 2%. Другая бригада в течение первого полугодия увеличивала производительность труда ежемесячно на 1%, а в течение второго полугодия — ежемесячно на 3%. Какая из этих бригад добилась большего увеличения производительности   труда   за   год?

ОТВЕТЫ