ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 20 Эквивалентные неравенства и их свойства

До сих пор мы рассматривали тождественные неравенства, то есть такие неравенства, которые выполняются (обращаются в числовые неравенства) при всех допустимых или специально указанных значениях входящих в них букв. К таким относятся,  например,  неравенства:

 а + 1 > а,    а2 > 0,    

Теперь мы переходим к изучению неравенств, которые выполняются не при всех, а лишь при некоторых (а может быть, и ни. при каких!) допустимых значениях букв. Примером такого неравенства может служить неравенство

2х > 0.

Оно выполняется при любых положительных значениях х, хотя допустимыми значениями х являются все числа, в том числе и отрицательные.

Решить неравенство, содержащее неизвестную величину, — это значит найти все те значения этой неизвестной величины, при которых данное неравенство выполняется.

Подобно решению уравнений, решение неравенств обычно проводится путем сведения их к более простым, эквивалентным (или равносильным)  неравенствам.

Два неравенства, содержащие одну и ту же неизвестную величину, называются эквивалентными (или равносильными), если они выполняются при одних и тех же значениях этой величины.

Примером эквивалентных неравенств могут служить неравенства 2х > 0 и —3х < 0, справедливые при всех положительных значениях х. Неравенства х > 0 и х2 > 0 не эквивалентны, поскольку первое из них верно только при положительных значениях х, а второе — как при положительных, так и при отрицательных значениях х.

Неравенства, каждое из которых не выполняется ни при каких значениях неизвестной величины, также считаются эквивалентными. Примером таких неравенств могут служить неравенства

х2 < — 1  и  —(5x4 + 3) > 0.

Эквивалентные неравенства обладают рядом важных свойств, которые мы приводим без доказательства.

Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить или из обеих частей вычесть число или  выражение, определенное для всех значений неизвестной величины, то получится неравенство, эквивалентное данному.

Примеры. 1) Если к обеим частям неравенства х > 2 — х прибавить число  —2, то в результате получится неравенство х — 2 >  —х. Это неравенство, как утверждает свойство 1, должно быть  эквивалентно  данному   неравенству  х > 2 — х.

2) Прибавим  к   каждой   части   неравенства 1/x < 1 выражение . В результате получим . Выражение    определено при всех значениях х. Следовательно, полученное   неравенство   эквивалентно   данному   неравенству 1/x  < 1.

Существенным условием в 1-м свойстве эквивалентных неравенств является то, что выражение, которое мы прибавляем к каждой части исходного неравенства, должно быть определено для всех значений неизвестной величины. Если это условие не выполнено, то данное и полученное из него неравенства могут оказаться неэквивалентными. Поясним это на следующем примере. Прибавив к обеим частям неравенства х > 0 выражение   , мы получим неравенство  . Исходное неравенство верно при всех положительных значениях х и, в частности, при х = 1. Полученное же неравенство при х = 1 не имеет смысла. Поэтому при х = 1 оно выполняться не может. Таким образом, рассматриваемые два неравенства не эквивалентны.

Из первого свойства эквивалентных неравенств вытекает важное для дальнейшего следствие. Любое слагаемое, определенное для всех значений неизвестной величины, можно перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.

Действительно, пусть дано неравенство

Р(х)  + Q (х) > R (х),                                 (1)

где Р(х), Q(х)  и R(х) представляют собой некоторые выражения, зависящие от х, причем Q(х) определено для любых значений х. Нам нужно доказать, что такое неравенство эквивалентно неравенству

Р(х) > R(х) —  Q(х).                                  (2)

Доказательство этого  факта очень  простое:  неравенство    (2) получается, если из обеих частей неравенства (1) отнять   Q(х).

Пример. Пусть дано неравенство 3х + 1 < 2 — х. Перенеся —х из правой части в левую, а 1,   наоборот,   из   левой   части в правую, получим:

3х + х < 2 — 1,

или

4х< 1.

Последнее неравенство выполняется, очевидно, при всех значениях х, меньших 1/4. При этих же значениях х должно,   следовательно,   выполняться   и   данное  неравенство   3х + 1 < 2 — х.

Вообще можно доказать, что переносить из одной части неравенства в другую  можно  любое  слагаемое.

Например,   слагаемое     в неравенстве

можно перенести из левой части в правую. В результате такого преобразования  получится  неравенство

эквивалентное данному (оба неравенства выполняются при всех положительных значениях х, кроме 1). А вот такое простое преобразование, как приведение подобных членов, требует большей осторожности. Так, если бы мы в правой части последнего неравенства привели подобные члены, то получили бы неравенство

х > 0,

которое не эквивалентно исходному неравенству.

Свойство 2. Если обе части неравенства умножить на положительное число или выражение, принимающее только положительные значения и определенное для всех значений неизвестной величины, то получится неравенство, эквивалентное данному.

Примеры. 1) Если обе части неравенства х > 2 — х умножить на положительное число 3, то получится неравенство 3х > 6 — 3х,  эквивалентное данному.

2) Выражение х2 + 1 принимает только положительные значения и определено для всех значений х. Поэтому неравенство х < 1  эквивалентно неравенству

х(х2+ 1) < х2+ 1,

или

х3 + х <  х2+ 1.

Следует особо подчеркнуть, что то выражение,   на   которое мы умножаем обе части исходного неравенства, должно удовлетворять двум требованиям:

а) оно обязано принимать только положительные значения и

б) быть определенным для всех значений неизвестной величины.

Если хотя бы одно из  этих требований не удовлетворяется, то исходное и полученное из него неравенства могут оказаться неэквивалентными. Поясним это на следующих примерах.

1)  Неравенство х > 0 выполняется только для положительных значений х. Умножив его почленно на х,   мы получим  неравенство х2 > 0. Оно верно как для положительных, так и   для отрицательных  значений  х.   Несоответствие этого  результата    со свойством 2 легко объяснить.    Ведь   выражение   х, на которое мы  умножили  обе части  исходного  неравенства х > 0,   принимает как положительные, так и отрицательные значения. А на этот случай свойство 2 не дает никаких гарантий.

2)  Умножив неравенство х > 0 на выражение      , мы получим неравенство   Предлагаем учащимся  самостоятельно показать, что это неравенство не эквивалентно данному, и объяснить, почему 2-е свойство эквивалентных неравенств здесь  не применимо.

Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на отрицательное число или выражение, которое определено для всех значений неизвестной величины и принимает только отрицательные значения, а знак неравенства изменить на противоположный ( >  на <  ;  <  на  >), то получится неравенство, эквивалентное данному.

Это свойство вполне аналогично 2-му свойству. Поэтому подробно останавливаться на нем  мы не будем.

Упражнения

152. Эквивалентны ли неравенства:

153. Эквивалентны ли  неравенства:

ОТВЕТЫ

152. а) Да; б) нет; в) нет; г) да.  153. а) Да; б) да; в) да; г) да; д) нет;  е) нет; ж) нет; з). да.

Используются технологии uCoz