ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 24 Дробно-линейные функции

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые вопросы поведения функций вида

                  (1)

где а, b, с и d — заданные числа, причем с отлично от нуля. Такие функции называются дробно-линейными*.

* Обычно, говоря о функциях вида (1), предполагают, что ad — bc =/=0 Это условие мы заменяем здесь более простым условием с =/= 0.

Прежде всего отметим,  что    дробно-линейная   функция    (1) определена при всех значениях аргумента х, кроме     х = — ^d/_c .

Те  значения   аргумента,   при   которых  функция    определена, в математике принято называть областью определения этой фукции. Поэтому можно сказать, что областью определения дробно-линейной функции (1) служит множество всех чисел, кроме — ^d/_c.

Так, областью определения  функции   будет  множествo всех чисел, кроме  ³/₇; область определения функции состоит из всех чисел, кроме 1.

Теперь на частном примере   покажем, как можно   выяснить, при   каких  значениях аргумента  х дробно-линейная  функция принимает  положительные  значения, при каких — отрицательные значения и при каких она обращается в нуль. Пусть

Рассмотрим отдельно числитель и знаменатель данной дроби. При х > 1 числитель х — 1 положителен, а при х < 1 — отрицателен. Этот факт отмечен на верхней прямой рисунка 34: заштрихованная область этой числовой прямой соответствует тем значениям аргумента х, при которых числитель х — 1 положителен, а незаштрихованная — тем значениям аргумента х, при которых числитель х — 1 отрицателен.

Решая неравенство

3 — 7х > 0,

получаем:  х < ³/₇.   Поэтому  знаменатель 3 — 7х данной  дроби будет положительным при х < ³/₇ ; этот факт отмечен с помощью штрихов на нижней числовой прямой рисунка 34.  При х > ³/₇ знаменатель будет, очевидно, отрицательным.

Сравнение   двух   числовых    прямых   на   рисунке дает:   при ³/₇ < х < 1  знаки числителя и знаменателя данной дроби совпадают (оба «—»); при х < ³/₇  и при х > 1 они разные. Поэтому при ³/₇ < х < 1 данная функция  принимает  положительные значения,  а при х < ³/₇  и при х > 1 — отрицательные значения. В точке х = 1 она обращается в нуль, а при х = ³/₇ вообще не определена (рис. 35).

Описанным способом можно решать и некоторые неравенства, содержащие дробно-линейные выражения. Покажем, например, как решается  неравенство

Перенося 4 в левую часть, получаем эквивалентное неравенство

или   

Числитель 6 — 4х полученной дроби положителен при    х < ³/₂   и  отрицателен  при  х > ³/₂ .

Знаменатель х— 1 положителен при х > 1 и отрицателен при х < 1   (рис. 36).     

Поэтому дробь   принимает отрицательные значения при х < 1 и при х > ³/₂.

Таким образом,  неравенству удовлетворяют все значения х < 1 и х > ³/₂

Подчеркнем, что данное неравенство нельзя решать путем почленного умножения на  х — 1, так как в этом случае получилось бы неравенство, не эквивалентное, данному. В самом деле, мы  имели  бы

2  <  4(х—1),

6 < 4х,

х > ³/₂

Оказались  потерянными  решения  х < 1.

Правильным  является  ответ: х < 1;  х > ³/₂.

Упражнения

Найти области определения данных дробно-линейных функций (№ 194, 195) и установить, при каких значениях аргумента они принимают положительные значения, при каких — отрицательные значения и при каких обращаются в нуль:

ОТВЕТЫ