ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I
§ 25 Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины
В этом параграфе мы на частных примерах покажем, как решаются неравенства вида
|ах + b | < с и | ах + b | > с.
Пример 1. Решить неравенство
|2х — 5| < 1.
Если абсолютная величина некоторого чиела меньше 1, то само это число должно быть больше — 1, но меньше 1 (рис. 37). Поэтому данное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:
—1 < 2х — 5 < 1.
Прибавляя к каждой части такого неравенства число 5 и деля затем полученное неравенство почленно на 2, мы приходим к следующему результату:
4 < 2х < 6,
2 < х < 3.
Множество таких значений х показано на рисунке 38.
Пример 2. Решить неравенство
| 3 — х | > 2.
Если абсолютная величина некоторого числа больше 2, то само это число должно быть либо меньше —2, либо больше 2 (рис 39). Поэтому из данного неравенства вытекает, что либо
3 — х < — 2,
либо
3 — х > 2.
Первое из этих двух неравенств дает
— х < — 5, или х > 5,
а второе
— x > — 1, или x < 1,
Ответ, х < 1; х > 5. Множество таких значений х показано на рисунке 40 в виде двух лучей числовой прямой.
Упражнения
Решить следующие неравенства (№207 — 216):
207. |х— 2| < 3. 211. | 1 + х | < 2. 214. | х + 4 | < 3.
208. | 1 — х | > 10. 212. | 2 — х | > 1. 215. |3 + х | > | х|.
209. |0,5х — 3 | < 0,5. 213. | — 2х + 1 | > 5. 216. | ах + b | < а.
210. | 2х — 4| > 6.
Данные неравенства решить графически:
217. |х— 3| < 2 218. | 1 — 2х | > 3. 219. | х| > | 1 — х |.
ОТВЕТЫ
|