ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 26 Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Совместные и несовместные системы.

Системой  двух  линейных  уравнений  с  двумя  неизвестными называется совокупность уравнений вида

где х и у — неизвестные величины, а   a₁,  b₁ , c₁ и a₂,  b₂ , c₂ — некоторые заданные числа.

Примером системы двух линейных уравнений с двумя   неизвестными может служить любая из систем:

Кстати, любую из этих систем можно назвать системой уравнений 1-й степени. Так называются системы вида (1), в которых хотя бы одно из уравнений содержит ненулевой коэффициент при х или при у.

Если в системе (1) оба свободных члена c₁ и c₂ равны нулю, то система называется однородной.

Если хотя бы один из свободных членов c₁ и c₂ отличен от нуля, то система называется неоднородной.

Так, из приведенных выше систем (2) — (7) однородными будут системы (2) и (5); все же остальные системы неоднородны.

Решением системы уравнений (1) называется такая пара чисел (х₀, у₀), которая каждое уравнение этой системы обращает в числовое равенство*:

* Это определение годится  и для произвольных систем уравнений с двумя   неизвестными.

Например, пара чисел (0, 0) является решением системы уравнений   (2),   поскольку

Пара чисел (1, 2) будет решением системы (3), так как

Пара чисел (2, 1) не будет решением системы (3), поскольку

Решением системы уравнений (3) не будет и пара чисел (2, 52). Действительно,

100 • 2 — 2 • 52 = 96,

но

—3• 2 + 57• 52 =/= 111.

Системы могут иметь различное число решений. Например, система уравнений (4) имеет, очевидно, единственное решение: х = 14, у = 1. В самом деле, из второго уравнения этой системы следует, что у = 1. Подставляя затем это значение у в первое уравнение, получаем: х — 2 • 1 = 12, откуда х = 14.

Система уравнений (5) имеет, очевидно, бесконечное множество решений. Действительно, при любом а пара чисел (а, а) обращает оба уравнения системы в числовые равенства. Поэтому любая такая пара чисел (а их бесконечное множество) является решением данной системы.

Наконец, существуют системы, которые вообще не имеют решений. Примером таких систем может служить система (6). Если бы она. имела решение (х₀ , у₀), то сумма двух чисел х₀ и  у₀ должна была бы равняться  одновременно и 0 и 1. Но этого быть  не может.

Таким образом, существуют системы линейных уравнений, имеющие ровно одно решение, бесконечное множество решений и, наконец, совсем не имеющие решений.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а не имеющая ни одного решения — несовместной.

Например, системы уравнений (2) и (3) совместны, а система  (6)  несовместна.

Для каждой однородной системы уравнений

пара чисел (0, 0) является решением. Поэтому любая  однородная система уравнений совместна.  В частности,   совместными являются приведенные выше системы (2) и (5).

Решить систему   уравнений

— это значит:  1) выяснить,    является ли она совместной, и 2) если она совместна, то найти все ее решения.

Упражнения

220.  Можно  ли  системы:

— назвать системами двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

221.  Показать, что ни при каких значениях а системы уравнений

не являются однородными.

222.  Доказать, что если система двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными имеет нулевое решение (то есть   решение х =  0, у = 0), то она является однородной. Верно ли обратное утверждение?