ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 27 Определители второго порядка

Когда нам нужно записать сумму двух чисел а и b, мы используем знак   +   и   пишем а + b; для записи разности двух чисел используется знак — и т. д. Большую роль в математике играет еще одна форма записи алгебраических действий, которая нам понадобится для изучения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Выглядит эта форма записи так:

                      (1)

Четыре числа   а, b, c и d записаны в виде таблицы, имеющей

две строки  (а,   b)  и  (с,  d)  и  два  столбца  Слева и справа стоят вертикальные черточки. Все это выражение употребляется для записи разности, ad — bc и называется определителем второго порядка. Итак,

         (2)

Например,

Числа а, b, c, d называются элементами, определителя (1).

Строки (а, b) и (с, d) определителя

называются пропорциональными, если хотя бы одна из них получается в результате поэлементного умножения другой строки на некоторое число k.

Поясним это определение на двух частных примерах.

Пример    1.   В определителе

первая строка получается посредством умножения каждого элемента второй строки на 2:

2 = 2•1;           6 = 2•3.

Значит,  строки  этого определителя   пропорциональны. В роли k здесь выступает число 2.

В данном случае возможно и другое объяснение: вторая строка  определителя   получается  посредством   умножения   каждого элемента первой строки на ¹/₂:

1 = ¹/₂•2;     3 = ¹/₂•6.

Следовательно,   строки   этого   определителя    пропорциональны. Здесь уже в роли k выступает число ¹/₂.

Пример   2.   Строки определителя

также пропорциональны,   поскольку   первая   из них получается поэлементным умножением второй строки на нуль:

0 = 0•0;           0 = 0•1.

В этом случае роль k играет число 0.

В отличие от первого примера, здесь вторая строка уже не может быть получена путем поэлементного умножения первой строки. Вот почему в определении пропорциональных строк говорится, что из двух таких строк хотя бы одна должна получаться в результате поэлементного умножения другой строки  на некоторое число к.

Таким образом, определение пропорциональности строк (а, b) и (с, d) определителя

можно записать следующим образом-:

либо а = kc,     b = kd,                                 (3)

либо с = k'a,   d = k'b,                               (4)

где   k   и    k' — некоторые   числа.   Для   одних   определителей выполняются оба эти условия (см. пример 1, в   котором k = 2, k' = ¹/₂);  для других же определителей имеет место только одно из них (см. пример 2).

Заметим, что если оба элемента первой строки в определителе

отличны от нуля, то пропорциональность строк можно записать в виде:

^c/_a = ^d/_b'

Аналогично, если каждый элемент второй строки данного определителя отличен от нуля, то пропорциональность строк можно записать в виде:

^a/_c = ^b/_d

Упражнения

223.   Вычислить определители:

224.   Как изменится определитель 2-го порядка, если:

а)  поменять местами его строки;

б)  поменять местами его столбцы;

в)   поменять местами элементы, стоящие на одной диагонали;

г)  все элементы первой строки умножить на число а;

д)  все элементы второго столбца разделить на число d =/= 0?

225.  При   каких  значениях  а  строки  данных  определителей пропорциональны:

226.  Докажите,  что если  в   определителе второго порядка какая-нибудь строка или  какой-нибудь столбец состоит из одних нулей, то строки такого определителя пропорциональны.

(Это утверждение полезно запомнить. Оно потребуется нам в следующем параграфе.)

ОТВЕТЫ

223. а) —15; б) 3; в) 121; ж) 1. 224. а) Изменит знак на противоположный; в) не изменится. 225. а) 6; б) —2; в) 0; г) при любом а.