ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 28 Условие, при котором определитель 2-го порядка равен нулю

Во всех приложениях теории определителей важную роль играют условия, при которых определитель обращается в нуль. Эти условия мы и рассмотрим в данном параграфе.

Теорема 1.  Если строки определителя

пропорциональны, то этот определитель равен нулю.

Доказательство. Пропорциональность строк (а, b) и (с, d) означает, что:

либо а = kc,              b = kd,

либо с = k'a,            d = k'b.

(При этом, конечно, не исключается возможность и того и другого.)

Если а = kc, b = kd, то

Аналогично обстоит дело и в случае, когда с = k'a, d = k'b:

Теорема доказана.

Верна и обратная теорема.

Теорема 2. Если определитель

равен нулю, то строки его пропорциональны.

Доказательство.   По условию

ad — bс = 0,

или

ad  =  bс.                                           (1)

Если ни один из элементов второй строки (с, d) не равен нулю, то из (1) вытекает, что

^a/_c = ^b/_d

Но это уже означает, что строки (а, b) и (с, d) пропорциональны.

Если оба числа с и d равны нулю, то строки определителей опять же будут пропорциональны (см. задачу 226 из предыдущего параграфа).

Остается рассмотреть лишь случай, когда одно из чисел с и d равно нулю, а другое отлично от нуля. Пусть, например, с = 0, a d =/= 0. Тогда из (1) вытекает, что а = 0. Но в таком случае в определителе

первый столбец будет состоять из одних нулей. Поэтому строки определителя будут пропорциональны (см. задачу 226).

Доказанные две теоремы приводят к следующему результату.

Определитель

равен нулю тогда и только тогда, когда его строки пропорциональны.

Упражнения

227.  При   каких   значениях  а  строки  данных  определителей пропорциональны:

228.  Столбцы определителя 2-го порядка называются   пропорциональными, если хотя бы один из них получается в результате поэлементного умножения другого на некоторое число k.

Докажите, что если в определителе 2-го порядка пропорциональны строки, то пропорциональными будут и столбцы. Верно ли обратное утверждение?

ОТВЕТЫ

227. а) ± 2; б) 0; в) ни при каком значении о строки данного определителя не пропорциональны.