ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 30 Правило Крамера

Теорема. Если главный определитель системы уравнений

не равен нулю, то эта система уравнений совместна и имеет единственное решение:

Например, для системы

рассмотренной в конце предыдущего параграфа, Δ = 11, Δx= 11, Δy = — 22. Поскольку Δ =/= 0, то система совместна и имеет единственное решение:

Доказательство   теоремы мы разобьем на два этапа.

1) Сначала покажем, что при  Δ =/= 0   система (1)   не   может иметь более одного решения.

Пусть (x0, y0)  —  решение системы (1). Тогда

a1x0 + b1y0 = c1                                     (2)

а2x0 + b2y0 =  с2.                                    (3)

Умножим первое из этих равенств на b2, а второе на — b1 и полученные соотношения сложим. Тогда получится:

(a1b2а2b1) x0  +  (b1b2b2b1) y0 = b2c1b1с2,

или

Δ• x0 = Δx.

Затем к равенству (2), умноженному на — а2, прибавим равенство (3), умноженное на a1. В результате получим:

(— a2a1 + a1a2) x0 + (— a2b1 + a1b2) y0 = — a2c1 + a1c2,

или

Δ• y0 = Δy.

Таким образом,   если  система  уравнений  (1)  имеет решение (x0, y0) , то

Δ• x0 = Δx

Δ• y0 = Δy

Вследствие того что Δ =/= 0,   x0  должен быть равен Δ x/Δ , а   y0 = Δ y/Δ  . Никакими другими   числами x0 и y0 быть не могут.   Но это и означает, что данная система имеет не более одного решения.

2) Доказывая единственность решения системы уравнений (1), мы предположили, что решение существует. Но верно ли такое предположение? Теперь этот вопрос выяснить нетрудно. Мы уже показали, что решением системы уравнений (1) могут быть лишь числа x0  =  Δ x/Δ   и    y0 = Δ y/Δ  .   Поэтому сейчас нам нужно будет просто подставить эти значения х и у в уравнения системы (1) и посмотреть, обратятся ли при этом уравнения в числовые равенства. Если обратятся, то тем самым мы докажем, что система уравнений (1) имеет решение x0  =  Δ x/Δ   ,    y0 = Δ y/Δ и, следовательно, является совместной.   В этом и   состоит   второй этап доказательства нашей теоремы. Имеем:

Аналогично показывается, что

a2 x0  + b2 y0 = c2.

Таким образом, если для системы уравнений (1) Δ =/= 0, то эта система имеет и притом единственное решение. Его можно получить   по   следующему   правилу:   находим  Δx,   Δy,  а затем вычисляем    искомые    величины    х  и   у    по формулам

x  =  Δ x/Δ

   y  =  Δ y/Δ  

 Это правило названо именем швейцарского математика Крамера    (1704—1752),   который  одним   из  первых    пришел к понятию определителя и доказал приведенную здесь теорему. Условие

означает, что строки (а, b) и (с, d) этого определителя не пропорциональны (см. § 28). В таком случае говорят, что коэффициенты при неизвестных х и у в системе уравнений (1) не пропорциональны. Поэтому полученный результат можно сформулировать следующим образом.

Если коэффициенты при неизвестных х и у в системе уравнений

не пропорциональны,  то   эта система   совместна и имеет единственное решение.

Вопрос о пропорциональности коэффициентов при неизвестных часто решается устно. Поэтому устно может быть установлена совместность таких, например, систем, как

и т. д. Вместе с тем устно выясняется, что каждая из данных систем имеет лишь одно решение.

Упражнения

ОТВЕТЫ

234. а) Да, если а =/= ± 6; в) да, если а =/= 0. 235. Если а = 0, то решений нет; если а =/= 0, то х = — 2/а,   у = 1/2а.

Используются технологии uCoz