|
|
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I § 31 Случай, когда главный определитель системы уравнений равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля Теорема. Если главный определитель системы уравнений
равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система несовместна. Формально, доказательство этой теоремы нетрудно получить методом от противного. Предположим, что система уравнений (1) имеет решение (x0 , y0 ). Тогда как показано в предыдущем параграфе, Δ • x0 = Δx, Δ • y0 = Δy (2) Но по условию Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δx и Δy отличен от нуля. Таким образом, равенства (2) одновременно выполняться не могут. Теорема доказана. Однако представляется интересным более детально выяснить, почему система уравнений (1) в рассматриваемом случае несовместна. Условие
означает, что коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (1) пропорциональны. Пусть, например, a1 = ka2 , b1 = kb2. Условие
означает, что коэффициенты при у и свободные члены уравнений системы (1) не пропорциональны. Поскольку b1 = kb2 , то c1 =/= kc2 . Следовательно, система уравнений (1) может быть записана в следующем виде:
В этой системе коэффициенты при неизвестных соответственно пропорциональны, но коэффициенты при у (или при х) и свободные члены не пропорциональны. Такая система, конечно, несовместна. Действительно, если бы она имела решение (x0 , y0 ), то выполнялись бы числовые равенства k (a2x0 + b2 y0) = c1 a2x0 + b2 y0 = c2. Но одно из этих равенств противоречит другому: ведь c1 =/= kc2. Мы рассмотрели лишь случай, когда Δx =/= 0. Аналогично может быть рассмотрен случай, когда Δy =/= 0." Доказанную теорему можно сформулировать и таким образом. Если коэффициенты при неизвестных х и у в системе уравнений (1) пропорциональны, а коэффициенты при какой-нибудь из этих неизвестных и свободные члены не пропорциональны, то эта система уравнений несовместна. Легко, например, убедиться в том, что каждая из данных систем будет несовместной:
ОТВЕТЫ
|
(1)
