ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА  II

§ 35 Рациональные числа

Первой математической операцией, с которой столкнулся человек, был счет предметов. В результате счета предметов получаются целые положительные числа, иначе называемые натуральными. Расположенные в порядке возрастания, они образуют натуральный ряд чисел

1, 2, 3, 4.....

После натуральных чисел в математику были введены положительные дроби, то есть числа вида ^m/_n,    где т   и n — произвольные натуральные числа. Введение этих чисел в   математику было вызвано потребностью производить измерения.

Известно, например, что при разливах реки Нила затоплялись огромные земельные участки древних египтян. После того как вода спадала, каждый должен был найти свой участок. Но без умения точно измерять ширину и длину участка сделать это было невозможно.

Для того чтобы показать, каким образом появляются положительные дроби при решении задач измерения, мы напомним, как измеряются прямолинейные отрезки. Из всех отрезков выбирают какой-нибудь один, например АВ (см. рис. 47 ), и объявляют его «единицей длины». Если в измеряемом отрезке CD выбранная единица длины укладывается ровно п раз (на рис. 47 п = 3), то длина отрезка CD выражается числом п.

Но не всегда отрезок АВ, представляющий собой единицу длины, укладывается в измеряемом отрезке целое число раз. Так, например, на рисунке 48 отрезок АВ вдвое длиннее измеряемого отрезка CD. Следовательно, половина отрезка АВ укладывается в CD ровно один раз. Поэтому длина отрезка CD выражается дробным числом ¹/₂. Вообще, если отрезок, выбранный в качестве единицы длины,  в п раз  длиннее   измеряемого отрезка, то длина последнего выражается числом ¹/_n. Возможен и такой случай,   когда   п-я  часть   единицы длины  АВ  укладывается в измеряемом отрезке CD ровно т раз (см. рис. 49, на котором п = 3, т = 4). В этом случае длина отрезка CD выражается дробным числом ^m/_n .

Таким образом, введение в математику натуральных чисел и положительных дробей было вызвано практическими потребностями людей. Позднее наряду с этими потребностями стали появляться и потребности теоретического характера. Как известно, натуральные числа и положительные дроби можно складывать и умножать друг на друга. А вот вычесть такие числа одно из другого удается далеко не всегда. Например, разности   5 — 5  и  ¹/₃  —  2 никакими натуральными числами и никакими положительными дробями выразить нельзя. Следовательно, действие вычитания в множестве всех натуральных чисел и положительных дробей, вообще говоря, невыполнимо. Потребности арифметики еще в древние времена поставили перед математикой необходимость ввести в рассмотрение отрицательные целые  числа, нуль и отрицательные дроби.

Отрицательные числа мы впервые встречаем в работах китайских математиков II века до н. э. Не исключена возможность, что результаты, содержащиеся в этих работах, были получены еще раньше. В VI —XI веках отрицательными числами свободно пользовались индийские математики. В Европе отрицательные числа стали широко использоваться лишь после работ французского математика   Декарта   (1596—1650).

После введения отрицательных чисел и нуля математика стала располагать всеми рациональными числами, то есть числами, которые можно  представить в виде отношения   ^m/_n ,   где т и п — целые числа, причем п =/= 0. Сюда входят все целые числа (положительные, отрицательные и нуль):

3 = ³/₁ — ⁶/₂ = ...,            — 5 = ^—5/₁ = ¹⁰/_—2  = ...,     0 = ⁰/₁ = ⁰/₂ = ...,

и все дроби (правильные и  неправильные, положительные и отрицательные):

¹/₂  ,  ¹⁰/₃ ,   —  ⁶/₅

и т. д.

Упражнения

289. Существует ли среди всех натуральных чисел:

а) наименьшее число; б) наибольшее число?

290. Есть ли среди всех положительных рациональных чисел:

а)  наименьшее число;  б)   наибольшее число?

291. Есть ли среди всех неположительных рациональных чисел:

а)  наименьшее число;  б)  наибольшее число?

292. Среди   всех  отрицательных   чисел,   не   превышающих по абсолютной   величине   ⁵/₂,  указать:

а)  наименьшее рациональное число;

б)  наибольшее рациональное число;

в)  наименьшее целое число.

293. Если за единицу длины   принять отрезок А В, то длина отрезка CD выразится числом ^m/_n.   А   каким   числом   выразится   длина   того же   самого   отрезка   CD, если  в качестве единицы длины   выбрать отрезок:

а)  в k раз меньший отрезка АВ;

б)  в k раз больший отрезка АВ?

294. Какими числами выразятся длины отрезков C₁D₁ , C₂D₂ и C₃D₃, представленных    на рисунке 50, если за единицу длины принять:

а) отрезок C₁D₁,   б) отрезок C₂D₂ в) отрезок C₃D₃?

ОТВЕТЫ