ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 36 Действия над рациональными числами
Как известно, две дроби m/n и k/l равны, то есть изображают одно и то же рациональное число, в том и только в том случае, когда ml = nk .
Например, 1/3 = 2/6, так как 1 • 6 = 3 • 2; —5/7 = 10/— 14, поскольку (—5) • (— 14) = 7 • 10; 0/1 = 0/5, так как 0 • 5 = 1 • 0 и т. д.
Очевидно, что для любого целого числа r, не равного 0,
: m/n = m•r/n • r
Это вытекает из очевидного равенства т • (п • r) = п • (т • r). Поэтому любое рациональное число можно представить в виде отношения двух чисел бесконечным числом способов. Например,
5 = 5/1 = —10/—2 = 15/3 и т. д,
—1/7 = 2/—14 = —3/21 =—100/700 и т. д.
0 = 0/1 = 0/—2 = 0/3 = 0/100 и т. д.
В множестве всех рациональных чисел выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль). Напомним, как определяются эти действия.
Сумма двух рациональных чисел m/n и k/l определяется формулой:
(1)
Произведение двух рациональных чисел m/n и k/l определяется формулой:
m/n • k/l = mk/nl (2)
Поскольку одно и то же рациональное число допускает несколько записей (например, 1/3 = 2/6 = 3/9 = ... ) следовало бы показать, что сумма и произведение рациональных чисел не зависят от того, как записаны слагаемые или сомножители. Например,
1/2 + 1/3 = 2/4 + 3/9 ; 1/2 • 1/3 = 3/6 • 2/6
и т. д. Однако рассмотрение этих вопросов выходит за пределы нашей программы.
При сложении и умножении рациональных чисел соблюдаются следующие основные законы:
1) коммутативный (или переместительный) закон сложения
m/n + k/l = k/l + m/n
2) ассоциативный (или сочетательный) закон сложения:
( m/n + k/l ) + p/q = m/n + ( k/l + p/q)
3) коммутативный (или переместительный) закон умножения:
m/n • k/l = k/l • m/n
4) ассоциативный (или сочетательный) закон умножения:
( m/n • k/l ) • p/q = m/n • ( k/l • p/q)
5) дистрибутивный (или распределительный) закон умножения относительно сложения:
( m/n + k/l ) • p/q = m/n • p/q + k/l • p/q
Сложение и умножение являются основными алгебраическими действиями. Что же касается вычитания и деления, то эти действия определяются как обратные по отношению к сложению и умножению.
Разностью двух рациональных чисел m/n и k/l называется такое число х, которое в сумме с k/l дает m/n. Другими словами, разность m/n — k/l определяется как корень уравнения
k/l + x = m/n
Можно доказать, что такое уравнение всегда имеет корень и притом только один:
Таким образом, разность двух чисел m/n и k/l находится по формуле:
Если числа m/n и k/l равны между собой, то разность их обращается в нуль; если же эти числа не равны между собой, то разность их либо положительна, либо отрицательна. При m/n — k/l > 0 говорят, что число m/n больше числа k/l ; если же m/n — k/l < 0, то говорят, что число m/n меньше числа k/l .
Частным от деления рационального числа m/n на рациональное число k/l называется такое число х, которое в произведении с k/l дает m/n . Другими словами, частное m/n : k/l определяется как корень уравнения
k/l • х = m/n .
Если k/l =/= 0, то данное уравнение имеет единственный корень
х = ml/nk
Если же k/l = 0, то это уравнение либо совсем не имеет корней (при m/n =/= 0 ), либо имеет бесконечно много корней (при m/n = 0). Желая сделать операцию деления выполнимой однозначно, условимся не рассматривать вовсе деление на нуль. Таким образом, деление рационального числа m/n на рациональное число k/l определено всегда, если только k/l =/= 0. При этом
m/n : k/l = ml/nk
Упражнения
295. Вычислить наиболее рациональным способом и указать, какими законами действий приходится при этом пользоваться;
а) (5 1/12 — 3 1/4) • 24; в) (333 1/3 • 4) • ( 3/125 • 1/16) .
б) ( 1/10 — 3 1/2) + 9/10
|