ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА  II

§ 36 Действия над рациональными числами

Как известно, две дроби m/n и k/l равны, то есть изображают одно и то же рациональное число, в том и только в том случае, когда ml = nk .   

Например, 1/3 = 2/6, так как 1 •  6 = 3 •  2;  —5/7  =  10/— 14, поскольку (—5) • (— 14) = 7 • 10;   0/1 = 0/5, так как 0 • 5 = 1 • 0 и т. д.

Очевидно, что для любого целого числа r, не равного 0,

:                                                  m/n =  mr/n r

Это вытекает из очевидного равенства т • (пr) = п • (т r). Поэтому любое рациональное число можно представить в виде отношения двух чисел бесконечным числом способов. Например,

5 = 5/1 = —10/—2   = 15/3      и т. д,

—1/7  = 2/—14 = —3/21 =—100/700  и т.  д.

0 = 0/1 = 0/—2 = 0/3 = 0/100   и т.  д.

В множестве всех рациональных чисел выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль). Напомним, как определяются эти действия.

Сумма двух рациональных чисел   m/n и k/l     определяется формулой:

                                                 (1)

Произведение двух рациональных чисел  m/n и k/l  определяется формулой:

m/n • k/l  =  mk/nl                (2)

Поскольку одно и то же рациональное число допускает несколько записей (например, 1/3 = 2/6 = 3/9 =   ...  )     следовало бы показать, что  сумма и произведение рациональных чисел не зависят от того, как записаны слагаемые или сомножители.   Например,

1/2 + 1/3   =  2/4  + 3/9  ;    1/2 1/3   = 3/6 2/6

и т. д. Однако рассмотрение этих вопросов выходит за пределы нашей программы.

При сложении и умножении рациональных чисел соблюдаются следующие основные законы:

1) коммутативный  (или  переместительный) закон сложения

m/n + k/l  = k/l + m/n

2)  ассоциативный (или сочетательный) закон сложения:

( m/n + k/l  ) + p/q  =  m/n +  ( k/l   + p/q)

3)   коммутативный (или переместительный) закон умножения:

m/n •  k/l  = k/l •  m/n

4)  ассоциативный (или сочетательный) закон умножения:

( m/n • k/l  ) • p/q  =  m/n • ( k/l  •   p/q)

5)   дистрибутивный  (или  распределительный)  закон  умножения относительно сложения:

( m/n + k/l  )  •  p/q  =   m/n •  p/q  +   k/l •  p/q

Сложение и умножение являются основными алгебраическими действиями. Что же касается вычитания и деления, то эти действия определяются как обратные по отношению к сложению и умножению.

Разностью двух рациональных   чисел  m/n и k/l  называется такое число х,   которое  в сумме с k/l  дает  m/n.      Другими   словами,   разность  m/n — k/l   определяется как корень уравнения

k/l  + x = m/n 

Можно доказать, что такое уравнение всегда имеет корень и притом только один:

Таким образом, разность двух чисел m/n и k/l  находится по формуле:

Если   числа m/n и k/l равны между  собой,  то  разность их обращается в нуль; если же эти  числа не равны   между собой, то  разность   их  либо   положительна,   либо   отрицательна.   При  m/n — k/l  > 0 говорят, что число m/n  больше числа k/l  ; если  же  m/n — k/l  < 0, то говорят,   что число m/n  меньше числа k/l .

Частным   от  деления   рационального числа m/n  на рациональное число k/l называется такое число х, которое в произведении с   k/l дает m/n .    Другими   словами,   частное   m/n : k/l определяется  как корень уравнения

 k/lх = m/n .

Если k/l =/= 0, то данное уравнение имеет единственный корень

х = ml/nk

Если  же   k/l  = 0, то это уравнение либо совсем не имеет корней (при m/n =/= 0 ),   либо   имеет    бесконечно   много   корней (при  m/n = 0).   Желая   сделать  операцию  деления   выполнимой  однозначно, условимся не рассматривать вовсе деление на нуль. Таким образом, деление рационального числа m/n на   рациональное число k/l определено всегда, если только k/l =/= 0. При этом

m/n : k/l  =  ml/nk

Упражнения

295. Вычислить наиболее рациональным способом и указать, какими законами действий  приходится при этом пользоваться;

а) (5 1/12 — 3 1/4) • 24;         в) (333 1/3 • 4) • ( 3/125   1/16) .

б) ( 1/10 — 3 1/2) + 9/10 

Используются технологии uCoz