ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 37 Геометрическое изображение рациональных чисел
Пусть Δ есть отрезок, принятый за единицу длины, а l — произвольная прямая (рис. 51). Возьмем на ней какую-нибудь точку и обозначим ее буквой О.
Каждому положительному рациональному числу m/n поставим в соответствие точку прямой l , лежащую справа от С на расстоянии в m/n единиц длины.
Например, числу 2 будет соответствовать точка А, лежащая справа от О на расстоянии в 2 единицы длины, а числу 5/4 точка В, лежащая справа от О на расстоянии в 5/4 единиц длины. Каждому отрицательному рациональному числу k/l поставим в соответствие точку прямой, лежащую слева от О на расстоянии в | k/l | единиц длины. Так, числу — 3 будет соответствовать точка С, лежащая слева от О на расстоянии в 3 единицы длины, а числу — 3/2 точка D, лежащая слева от О на расстоянии в 3/2 единиц длины. Наконец, рациональному числу «нуль» поставим в соответствие точку О.
Очевидно, что при выбранном соответствии равным рациональным числам (например, 1/2 и 2/4 ) будет отвечать одна и та же точка, а не равным между собой числам различные точки прямой. Предположим, что числу m/n соответствует точка P , а числу k/l точка Q. Тогда, если m/n > k/l, то точка Р будет лежать правее точки Q (рис. 52, а); если же m/n < k/l, то точка Р будет находиться левее точки Q (рис. 52, б).
Итак, любое рациональное число можно геометрически изобразить в виде некоторой, вполне определенной точки прямой. А верно ли обратное утверждение? Всякую ли точку прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого рационального числа? Решение этого вопроса мы отложим до § 44.
Упражнения
296. Изобразить точками прямой следующие рациональные числа:
—3; — 7/2 ; 0 ; 2,6.
297. Известно, что точка А (риc. 53) служит геометрическим изображением рационального числа 1/3 . Какие числа изображают точки В, С и D?
298. На прямой заданы две точки, которые служат геометрическим изображением рациональных чисел а и b. Найти на этой прямой точки, изображающие числа а + b и а — b.
299. На прямой заданы две точки, которые служат геометрическим изображением рациональных чисел а + b и а — b. Найти на этой прямой точки, изображающие числа а и b.
ОТВЕТЫ
|