ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА  II

§ 41 Длина отрезка, несоизмеримого с единицей длины

Вернемся к задаче измерения прямолинейных отрезков, частично уже рассмотренной нами в предыдущих параграфах. Пусть АВ есть отрезок, принятый за единицу длины, a CD — измеряемый отрезок. Может представиться два случая:

1)  отрезки АВ и CD соизмеримы;

2)  отрезки АВ и CD несоизмеримы.

В первом случае длина   отрезка   CD выразится некоторым    рациональным  числом m/n. Во втором случае длина  CD   не может быть выражена никаким рациональным числом. Этот случай сейчас будет представлять для нас наибольший интерес. Его-то мы и рассмотрим. Один из важнейших выводов, к которому приводит рассмотрение этого случая, состоит в следующем: для измерения отрезков рациональных чисел не хватает. Для того чтобы длина каждого отрезка выражалась некоторым числом, мы должны к уже известным нам  рациональным числам добавить какие-то новые числа.

Как же представить себе эти новые числа?

Пусть отрезок CD несоизмерим с единицей длины — отрезком АВ. Будем откладывать отрезок АВ на отрезке CD, начиная от точки С (рис. 57).

Предположим, что в результате двух последовательных откладываний получается некоторый «остаток» — отрезок C'D, который меньше отрезка АВ. Тогда естественно считать, что длина CD  приближенно выражается числом 2. Разделим единицу длины АВ на 10 равных частей и одну, такую часть будем откладывать на CD, начиная от точки С. Допустим, что после пяти таких откладываний получается «остаток» — отрезок C''D, меньший, чем десятая доля АВ. Тогда естественно считать, что длина CD приближенно выражается числом 2,5. После этого десятую   долю АВ   разделим, в свою   очередь, на 10 равных  частей.   В   результате   мы   получим 1/100    долю   АВ.

Будем откладывать ее на отрезке CD, начиная от точки С" (на рисунке 57 это уже не отмечено). Предположим, что после восьми таких последовательных откладываний    получается   «остаток» — отрезок С"' D,  меньший,  чем 1/100  доля АВ.  Тогда естественно  считать, что длина отрезка   CD приближенно выражается числом 2,58. Описанный процесс можно было бы продолжать неограниченно. При этом каждый шаг давал бы нам все более и более точные, хотя и всегда приближенные, значения длины отрезка CD, например:

2;             2,583;               

2,5;           2,5833;             

2,58;         2,58337   и т. д.

Почему мы уверены, что этот процесс будет продолжаться бесконечно? Если бы он оборвался на каком-нибудь шаге, например  на третьем,  то длина  CD  выразилась  бы  точно   (а   не приближенно)   числом 2,58.  Но в таком случае 1/100  доля   АВ укладывалась бы в АВ 100 раз, а в CD 258 раз. А это противоречит условию, согласно которому отрезки АВ и CD несоизмеримы.

Теперь естественно считать, что длина отрезка CD выражается бесконечной десятичной дробью

2,58337...  .

Эта дробь не может быть  периодической, иначе ее можно было бы представить в виде m/n , где т и п — натуральные числа. Но тогда п-я доля АВ укладывалась бы в АВ п раз, а и CD т раз, что также противоречит несоизмеримости отрезков АВ  и CD.

Таким образом, длина отрезка CD выражается бесконечной непериодической десятичной дробью (2,58337...). К аналогичному выводу мы пришли бы, если вместо отрезка CD рассмотрели какой-нибудь другой отрезок, несоизмеримый с единицей длины АВ.

Итак, если некоторый отрезок CD несоизмерим с единицей длины, то его длина записывается в виде бесконечной непериодической   десятичной дроби.

Упражнения

314.   Может ли длина отрезка   А  при  одной единице длины выражаться   бесконечной   периодической  дробью,   а   при  другой единице   длины — бесконечной   непериодической дробью?   Приведите примеры.

315.  Соизмерим ли отрезок CD с единицей длины АВ, если длина CD выражается:

а)  конечной десятичной дробью;

б)  бесконечной периодической десятичной дробью;

в)   бесконечной непериодической десятичной дробью?

ОТВЕТЫ

315. а) Да;  б) да;  в) нет.

Используются технологии uCoz