ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 41 Длина отрезка, несоизмеримого с единицей длины
Вернемся к задаче измерения прямолинейных отрезков, частично уже рассмотренной нами в предыдущих параграфах. Пусть АВ есть отрезок, принятый за единицу длины, a CD — измеряемый отрезок. Может представиться два случая:
1) отрезки АВ и CD соизмеримы;
2) отрезки АВ и CD несоизмеримы.
В первом случае длина отрезка CD выразится некоторым рациональным числом m/n. Во втором случае длина CD не может быть выражена никаким рациональным числом. Этот случай сейчас будет представлять для нас наибольший интерес. Его-то мы и рассмотрим. Один из важнейших выводов, к которому приводит рассмотрение этого случая, состоит в следующем: для измерения отрезков рациональных чисел не хватает. Для того чтобы длина каждого отрезка выражалась некоторым числом, мы должны к уже известным нам рациональным числам добавить какие-то новые числа.
Как же представить себе эти новые числа?
Пусть отрезок CD несоизмерим с единицей длины — отрезком АВ. Будем откладывать отрезок АВ на отрезке CD, начиная от точки С (рис. 57).
Предположим, что в результате двух последовательных откладываний получается некоторый «остаток» — отрезок C'D, который меньше отрезка АВ. Тогда естественно считать, что длина CD приближенно выражается числом 2. Разделим единицу длины АВ на 10 равных частей и одну, такую часть будем откладывать на CD, начиная от точки С. Допустим, что после пяти таких откладываний получается «остаток» — отрезок C''D, меньший, чем десятая доля АВ. Тогда естественно считать, что длина CD приближенно выражается числом 2,5. После этого десятую долю АВ разделим, в свою очередь, на 10 равных частей. В результате мы получим 1/100 долю АВ.
Будем откладывать ее на отрезке CD, начиная от точки С" (на рисунке 57 это уже не отмечено). Предположим, что после восьми таких последовательных откладываний получается «остаток» — отрезок С"' D, меньший, чем 1/100 доля АВ. Тогда естественно считать, что длина отрезка CD приближенно выражается числом 2,58. Описанный процесс можно было бы продолжать неограниченно. При этом каждый шаг давал бы нам все более и более точные, хотя и всегда приближенные, значения длины отрезка CD, например:
2; 2,583;
2,5; 2,5833;
2,58; 2,58337 и т. д.
Почему мы уверены, что этот процесс будет продолжаться бесконечно? Если бы он оборвался на каком-нибудь шаге, например на третьем, то длина CD выразилась бы точно (а не приближенно) числом 2,58. Но в таком случае 1/100 доля АВ укладывалась бы в АВ 100 раз, а в CD 258 раз. А это противоречит условию, согласно которому отрезки АВ и CD несоизмеримы.
Теперь естественно считать, что длина отрезка CD выражается бесконечной десятичной дробью
2,58337... .
Эта дробь не может быть периодической, иначе ее можно было бы представить в виде m/n , где т и п — натуральные числа. Но тогда п-я доля АВ укладывалась бы в АВ п раз, а и CD т раз, что также противоречит несоизмеримости отрезков АВ и CD.
Таким образом, длина отрезка CD выражается бесконечной непериодической десятичной дробью (2,58337...). К аналогичному выводу мы пришли бы, если вместо отрезка CD рассмотрели какой-нибудь другой отрезок, несоизмеримый с единицей длины АВ.
Итак, если некоторый отрезок CD несоизмерим с единицей длины, то его длина записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Упражнения
314. Может ли длина отрезка А при одной единице длины выражаться бесконечной периодической дробью, а при другой единице длины — бесконечной непериодической дробью? Приведите примеры.
315. Соизмерим ли отрезок CD с единицей длины АВ, если длина CD выражается:
а) конечной десятичной дробью;
б) бесконечной периодической десятичной дробью;
в) бесконечной непериодической десятичной дробью?
ОТВЕТЫ
315. а) Да; б) да; в) нет.
|