ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА  II

§ 42 Действительные числа

В предыдущем параграфе мы убедились, что для измерения отрезков рациональных чисел не хватает. Напомним еще раз, что рациональные числа — это числа, представимые в виде бесконечных периодических десятичных дробей. А  длины некоторых отрезков выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Таким образом, задача измерения отрезков приводит нас к необходимости расширить множество рациональных чисел путем присоединения к нему положительных бесконечных непериодических десятичных дробей. С такой же необходимостью мы столкнулись, по существу, и в § 39 при рассмотрении квадратных уравнений вида х2 = а, где а — некоторое рациональное (даже натуральное) число. Потребности алгебры (например, выполнимость действия вычитания) указывают на то, что наряду с положительными целесообразно сразу же ввести в рассмотрение и отрицательные бесконечные непериодические десятичные дроби. Поэтому в дальнейшем, говоря о бесконечных непериодических дробях, мы будем иметь в виду как положительные, так и отрицательные дроби.

Числа, которые можно представить в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными (то есть «нерациональными»).

Примером иррациональных чисел, может служить любое из чисел √2, √3, √5 и т. д. Иррациональность √2 мы фактически доказали В § 39, а иррациональность чисел  √3  и  √5 может быть установлена аналогично. Не следует, однако, думать, что иррациональные числа получаются только при извлечении корней. Как было показано в предыдущем параграфе, к иррациональным   числам   приводит  и   задача   измерения   отрезков. А  измерение   отрезков,   вообще   говоря,   не обязательно   связано с извлечением корней.

В § 38, где об извлечении корней не говорилось ни слова, мы указали иррациональное число 0,101001000100001 ... .

Классический пример иррационального числа, происхождение которого также не имеет никакого отношения к извлечению корней, дает число π = 3,1415926535... (отношение длины окружности к ее диаметру). К сожалению, мы не можем привести здесь других убедительных примеров. Но примеры такие существуют. Поэтому извлечение корней из целых чисел — далеко  не единственный источник образования иррациональных чисел. Более того, среди всех иррациональных чисел в известном смысле больше как раз таких чисел, которые своим происхождением никак не связаны,с извлечением корней. Однако вопрос этот довольно сложен; подробно останавливаться на нем мы здесь не можем.

Все рациональные и все иррациональные числа, взятые вместе, образуют множество действительных, или вещественных, чисел. К изучению этого множества мы приступим в следующем  параграфе.

Некоторыми иррациональными числами математики пользовались еще в древние времена. К ним приводили многие задачи геометрии, которые не могли быть решены на базе существовавшей тогда арифметики. Однако в те времена иррациональные числа рассматривались не как равноправные с рациональными, а как какие-то исключительные числа, нарушающие гармонию арифметики и геометрии. По этой причине некоторые предлагали даже  изгнать  иррациональные  числа  из  математики.

Строгая теория иррациональных чисел была построена лишь во второй половине XIX века. Основная заслуга а этом принадлежит немецким ученым Д е д е к и н д у (1831—1916), Кантору (1845 — 1918) и Вейерштрассу    (1815—1897)

Упражнения

316.   а) Любое ли рациональное число является действительным? А наоборот?

б) Любое ли иррациональное число является действительным? А наоборот?

317.  Длина любого ли отрезка выражается:

а)   рациональным числом;

б)   иррациональным числом;

в)  действительным числом?

Используются технологии uCoz