ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 42 Действительные числа
В предыдущем параграфе мы убедились, что для измерения отрезков рациональных чисел не хватает. Напомним еще раз, что рациональные числа — это числа, представимые в виде бесконечных периодических десятичных дробей. А длины некоторых отрезков выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Таким образом, задача измерения отрезков приводит нас к необходимости расширить множество рациональных чисел путем присоединения к нему положительных бесконечных непериодических десятичных дробей. С такой же необходимостью мы столкнулись, по существу, и в § 39 при рассмотрении квадратных уравнений вида х2 = а, где а — некоторое рациональное (даже натуральное) число. Потребности алгебры (например, выполнимость действия вычитания) указывают на то, что наряду с положительными целесообразно сразу же ввести в рассмотрение и отрицательные бесконечные непериодические десятичные дроби. Поэтому в дальнейшем, говоря о бесконечных непериодических дробях, мы будем иметь в виду как положительные, так и отрицательные дроби.
Числа, которые можно представить в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными (то есть «нерациональными»).
Примером иррациональных чисел, может служить любое из чисел √2, √3, √5 и т. д. Иррациональность √2 мы фактически доказали В § 39, а иррациональность чисел √3 и √5 может быть установлена аналогично. Не следует, однако, думать, что иррациональные числа получаются только при извлечении корней. Как было показано в предыдущем параграфе, к иррациональным числам приводит и задача измерения отрезков. А измерение отрезков, вообще говоря, не обязательно связано с извлечением корней.
В § 38, где об извлечении корней не говорилось ни слова, мы указали иррациональное число 0,101001000100001 ... .
Классический пример иррационального числа, происхождение которого также не имеет никакого отношения к извлечению корней, дает число π = 3,1415926535... (отношение длины окружности к ее диаметру). К сожалению, мы не можем привести здесь других убедительных примеров. Но примеры такие существуют. Поэтому извлечение корней из целых чисел — далеко не единственный источник образования иррациональных чисел. Более того, среди всех иррациональных чисел в известном смысле больше как раз таких чисел, которые своим происхождением никак не связаны,с извлечением корней. Однако вопрос этот довольно сложен; подробно останавливаться на нем мы здесь не можем.
Все рациональные и все иррациональные числа, взятые вместе, образуют множество действительных, или вещественных, чисел. К изучению этого множества мы приступим в следующем параграфе.
Некоторыми иррациональными числами математики пользовались еще в древние времена. К ним приводили многие задачи геометрии, которые не могли быть решены на базе существовавшей тогда арифметики. Однако в те времена иррациональные числа рассматривались не как равноправные с рациональными, а как какие-то исключительные числа, нарушающие гармонию арифметики и геометрии. По этой причине некоторые предлагали даже изгнать иррациональные числа из математики.
Строгая теория иррациональных чисел была построена лишь во второй половине XIX века. Основная заслуга а этом принадлежит немецким ученым Д е д е к и н д у (1831—1916), Кантору (1845 — 1918) и Вейерштрассу (1815—1897)
Упражнения
316. а) Любое ли рациональное число является действительным? А наоборот?
б) Любое ли иррациональное число является действительным? А наоборот?
317. Длина любого ли отрезка выражается:
а) рациональным числом;
б) иррациональным числом;
в) действительным числом?
|