ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 43 Сраннение действительных чисел
В этом параграфе, говоря о действительных числах, мы будем предполагать, что все они заданы нам в виде бесконечных десятичных дробей. Сначала рассмотрим лишь положительные числа.
Два положительных действительных числа называются равными, если все соответственные десятичные знаки их одинаковы*.
* Бесконечные периодические десятичные; дроби<с:лериодом 9 мы, исключаем из рассмотрения.
Если же одно из чисел содержит знак, не совпадающий с соответственным знаком другого числа, то числа называются неравными. Например, число 5,6389... не равно числу 3,6389...; число 0,146... не равно числу 0,148... и т. д.
Пусть α и β — не равные между собой положительные действительные числа. Если целые части этих чисел различны, то большим считается то из них, которое имеет большую целую часть. Например,
5,6348... > 3,9901...; 1,0000... > 0,5777... .
Предположим теперь, что целые части неравных чисел α и β равны между собой. Тогда сравним их первые после запятой десятичные знаки. Если эти знаки различны, то большим будет то из чисел α и β, которое содержит больший первый десятичный знак. Если же и эти знаки одинаковы, то сравним вторые после запятой знаки. Большим из чисел α и β будет то, у которого второй после запятой десятичный знак больше. Если же и эти знаки одинаковы, то сравниваем третьи после запятой знаки и т. д. Рано или поздно мы придем к разным знакам: в противном случае числа α и β были бы равны друг другу.
Примеры
37,1269... > 37,0394...; 110,0057... > 110,0049...; 0,3333... > 0,3332... .
Теперь покажем, как сравниваются между собой отрицательные действительные числа.
Два отрицательных действительных числа α и β называются равными, если равны их абсолютные значения:
| α | = | β |.
Если же | α | =/= | β | , то отрицательные числа α и β называются неравными. Например:
— 5,6389... =/= — 3,6389...; — 0,146... =/= — 0,147... .
Из двух отрицательных чисел большим считается то, абсолютная величина которого меньше.
Например:
— 37,1269... < — 37,0394..., так как 37,1269... > 37,0394...;
— 0,3333... < — 0,3332...., поскольку 0,3333... > 0,3332... .
Нам осталось установить, как сравниваются между собой действительные числа разных знаков. Естественно считать, что любое положительное число больше любого отрицательного числа и числа 0, а число 0, в свою очередь, больше любого отрицательного числа.
Упражнения
318. Между данными числами поставить один из следующих трех знакев: >, <, =.
а) 5,63479. . . и 5,63497 . . .; г) 15,25 ... и 61/4;
б) — 3,4833... и — 3,5829 . . . ; д) 0 и — 0,0003 ....
в) — 16,0010. . . и — 16,0001 . . .;
319. Выяснить, какое из двух данных чисел больше и какое меньше (или же показать, что эти числа равны друг другу):
а) — 71,7171 ... и 7,1717 . . . ; б) — 3/8 и — 0,375 . . . ; в) 5/9 и 0,5555 . . . (одни пятерки); г) 0,3333... и 1/3.
ОТВЕТЫ
|