ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА  II

§ 43 Сраннение действительных чисел

В этом параграфе, говоря о действительных числах, мы будем предполагать, что все они заданы нам в виде бесконечных десятичных дробей. Сначала рассмотрим лишь положительные числа.

Два положительных действительных числа называются равными, если все соответственные десятичные знаки их одинаковы*.

* Бесконечные периодические десятичные; дроби<с:лериодом 9 мы, исключаем  из  рассмотрения.

Если же одно из чисел содержит знак, не совпадающий с соответственным знаком другого числа, то числа называются неравными. Например, число 5,6389... не равно числу 3,6389...; число 0,146... не равно числу 0,148... и т. д.

Пусть α и β — не равные между собой положительные действительные числа. Если целые части этих чисел различны, то большим считается то из них, которое имеет большую целую часть. Например,

5,6348... > 3,9901...;      
1,0000... > 0,5777...  .    

Предположим теперь, что целые части неравных чисел α и β  равны между собой. Тогда сравним их первые после запятой десятичные знаки. Если эти знаки различны, то большим будет то из чисел α и β, которое содержит больший первый десятичный знак. Если же и эти знаки одинаковы, то сравним вторые после запятой знаки. Большим из чисел α и β будет то, у которого второй после запятой десятичный знак больше. Если же и эти знаки одинаковы, то   сравниваем третьи после запятой знаки и т. д.  Рано или поздно мы придем к разным знакам: в противном случае числа α и β были бы равны друг другу.

Примеры

37,1269... > 37,0394...;
110,0057... > 110,0049...;
0,3333... > 0,3332...   .

Теперь покажем, как сравниваются между собой  отрицательные действительные числа.

Два отрицательных   действительных числа α и β называются равными, если равны  их абсолютные значения:

| α | = | β |.

Если же | α | =/= | β | , то отрицательные числа α и β называются неравными. Например:

—  5,6389... =/= — 3,6389...;
—  0,146...   =/= — 0,147...   .

Из двух отрицательных чисел большим считается то, абсолютная величина которого меньше.

Например:

—  37,1269... < — 37,0394...,   так   как   37,1269... > 37,0394...;

—  0,3333... < — 0,3332...., поскольку 0,3333... > 0,3332... .

Нам осталось установить, как сравниваются между собой действительные числа разных знаков. Естественно считать, что любое положительное число больше любого отрицательного числа и числа 0, а число 0, в свою очередь, больше любого отрицательного числа.

Упражнения

318. Между данными числами поставить один из следующих трех знакев: >, <, =.

а)  5,63479. . . и  5,63497 . . .;     г) 15,25 ... и 61/4;

б)  — 3,4833... и — 3,5829 . . . ; д) 0 и — 0,0003 ....

в)  — 16,0010. . . и — 16,0001 . . .;

319. Выяснить, какое из двух данных чисел больше и какое меньше (или же показать, что эти числа равны друг другу):

а) — 71,7171 ...   и   7,1717 . . . ;        б) —  3/8 и — 0,375 . . . ; в) 5/9 и 0,5555 . . .    (одни пятерки); г) 0,3333... и 1/3.

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz