ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА  II

§ 45 Десятичные приближения действительных чисел

Пусть α есть некоторое положительное действительное число, представленное в виде бесконечной дроби. Вначале мы предположим, что эта дробь не является периодической с периодом 0. (Например, в качестве α не может выступать число 0,5  = 0,5000... .) Тогда десятичные приближения числа α с недостатком определяются как числа, которые получаются в результате последовательного отбрасывания всех его цифр, стоящих после запятой, начиная с первой цифры, потом со второй, затем с третьей и т. д. Например, для числа √2 = 1,41421... такими приближениями будут:

1;   1,4;   1,41;   1,414;   1,4142;   1,41421;   ...   .

Если последнюю цифру каждого из десятичных приближений числа α увеличить на 1, то мы получим последовательные десятичные приближения числа α с избытком. Например, для числа √2 такими приближениями будут:

2;   1,5;   1,42;   1,415;   1,4143;   1,41422; ....

Очевидно, что число α больше любого своего десятичного приближения с недостатком, но меньше любого своего десятичного приближения с избытком. Например, для числа √2

1< √2 < 2

1,4< √2 < l,5

1,41 √2 < 1,42

1,414 < √2 < 1,415

1,4142 < √2 < 1,4143

1,41421 < √2 < 1,41422

и т. д.

Теперь предположим, что α есть периодическая десятичная дробь с периодом 0. Примером такого числа может служить число 1,47 = 1,4700 ... . Десятичные приближения этого числа с недостатком естественно определить как числа

1;   1,4;    1,47;    1,470;    1,4700; ...,

а десятичные приближения с избытком — как числа

2;   1,5;   1,47;    1,470;    1,4700; ... .

Вообще, пусть нулевой период числа α начинается с k-го десятичного знака после запятой (например, Для числа 1,47 = = 1,470000... k = 3). Тогда его первые k — 1 десятичных приближений с недостатком и первые k — 1 десятичных приближений с избытком определяются так же, как и в случае, когда рассматриваемая дробь не является периодической с периодом 0. Все же остальные десятичные приближения считаются равными числу α. Так, для числа 0,373 = 0,37300... десятичными приближениями будут:

с недостатком 0; 0,3; 0,37; 0,373; 0,3730; 0,37300; ...,  

с избытком      1; 0,4; 0,38; 0,373; 0,3730; 0,37300; ... .

Очевидно, что в этом случае число α не меньше любого своего десятичного приближения с недостатком и не больше любого своего десятичного приближения с избытком.

Мы   показали,   как   составляются   десятичные   приближения (с недостатком и с избытком) для любых положительных действительных чисел. Аналогично можно определить десятичные приближения и   для   произвольных   отрицательных   чисел.   Мы не, будем приводить здесь общих определений; покажем лишь, как следует находить десятичные приближения отрицательных чисел на примере  числа —√2 = — 1,41421... .

Как мы знаем (см. § 43), из двух отрицательных чисел больше тo, абсолютная величина которого меньше. Поэтому из полученных выше соотношений

1< √2 < 2

1,4< √2 < l,5

1,41 √2 < 1,42

1,414 < √2 < 1,415

1,4142 < √2 < 1,4143

1,41421 < √2 < 1,41422

..................................................

вытекает ,  что

—2 <—√2 <—1

— 1,5 <— √2 <—1,4.

— 1,42 < —√2 <—1,41

— 1,415 < — √2 < —1,414

— 1,4143 < — √2 < — 1,4142

— 1,41422 < — √2 <— 1,41421

Числа, стоящие в левых частях этих неравенств, естественно назвать десятичными приближениями числа   — √2 с недостатком, а числа, стоящие в правых частях, — десятичными приближениями числа  —√2 с избытком. Очевидно, что число —√2 больше любого своего десятичного приближения с недостатком, но меньше любого своего десятичного приближения с избытком. Добавим, наконец, что для действительного числа 0 также можно построить десятичные приближения с недостатком и десятичные приближения с избытком. Каждое из таких приближений считается равным нулю.

Итак, с каждым действительным числом α можно связать две бесконечные последовательности чисел:

α₁', α₂', α₃', α₄',  ... ;

 α₁'', α₂'', α₃'', α₄'',  ... .

Первая последовательность состоит из десятичных приближений числа α  с недостатком, а вторая — из десятичных приближений числаα  с избытком. При этом

α₁' < α < α₁''

α₂' < α < α₂''

α₃' < α < α₃''

α₄' < α < α₄''

и т. д.

Важно отметить, что каждое из десятичных приближений числа α является рациональным числом, хотя само число α может быть и иррациональным.

Упражнения

324.   Найти    несколько    первых    десятичных    приближений (с недостатком и с избытком) для   следующих    действительных чисел:

а)  √3;          в) ¹¹/₇;         д) 4;           ж) ⁵/₈;

б)   —√3;       г) —¹¹/₇;         е) —4;.        з) — ⁵/₈ .

325.   Все десятичные   приближения   действительного   числа α с    недостатком,    начиная     с    некоторого,     совпадают.    Какое число α : рациональное или иррациональное?

326.   Все  десятичные  приближения  действительного  числа α с   недостатком   различны.   Можно ли утверждать,   что число α иррационально? Ответ пояснить примерами.