ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА  II

§ 46 Сложение действительных чисел

Пока что мы умеем складывать друг с другом лишь рациональные  числа. Как мы знаем,

А вот какой смысл вкладывается в сумму двух чисел, из которых хотя бы одно иррационально, этого мы еще не знаем. Нам предстоит сейчас дать определение того, что понимается под суммой α + β двух произвольных действительных чисел α и β.

Для примера рассмотрим   числа  ¹/₃ и √2.   Представим их в виде бесконечных десятичных дробей

¹/₃  = 0,33333...;

√2 =1,41421... .

Сначала сложим соответственные десятичные приближения данных   чисел   с  недостатком.   Эти   приближения,   как   отмечалось в конце предыдущего  параграфа,   представляют собой рациональные  числа.  А складывать такие числа мы уже умеем:

0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................

Затем сложим соответственные десятичные приближения данных чисел с избытком:

1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................

Можно доказать*, что  существует и притом единственное действительное число γ, которое больше всех сумм десятичных приближений чисел ¹/₃ и √2 с недостатком, но меньше всех сумм десятичных приближений этих чисел с избытком:

* Строгое доказательство этого факта выходит за пределы нашей  программы и потому здесь не приводится.

1 < γ < 3

1,7 < γ < 1,9

1,74 < γ < 1,76

1,747 < γ < 1,749

1,7475 < γ < 1,7477

1,74754 < γ < 1,74756

По определению это число γ и принимается за сумму чисел ¹/₃ и √2 :

γ = ¹/₃ + √2

Очевидно, что γ = 1,7475....

Аналогично может быть определена и сумма любых других положительных действительных чисел, из которых хотя бы одно иррационально. Суть дела не изменится и в том случае, если одно из слагаемых, а может быть, и оба будут отрицательными.

Итак, если числа α и β рациональны, то сумма их находится по правилу сложения рациональных чисел (см. § 36).

Если же хотя бы одно из них иррационально, то суммой α + β называется такое действительное число, которое больше всех сумм соответственных десятичных приближений этих чисел с недостатком, но меньше всех сумм соответственных десятичных приближений этих чисел с избытком.

Определенное таким образом действие сложения подчиняется следующим двум законам:

1)   коммутативному закону:

α + β = β + α

2)  ассоциативному закону:

(α + β) + γ = α + ( β + γ).

Доказывать этого мы не будем. Учащиеся могут сделать это самостоятельно. Отметим лишь, что при доказательстве придется использовать уже известный нам факт: сложение рациональных чисел подчинено коммутативному и ассоциативному законам (см. § 36).

Упражнения

327.  Данные суммы  представить  в виде десятичных дробей, указав не менее трех верных знаков после занятой:

а)  √2 +√3;        г) √2 + (— √3)             ж) ³/₄ + (—√5);

б) √2 + ⁵/₈;             д) (—¹/₃) + √5               з) ¹/₃ + √2 + √3.

в) (—√2) + √3;        е) ¹¹/₉ + (— √5);                             

328.   Найти    несколько    первых    десятичных    приближении (с недостатком и с избытком) для действительных чисел:

а) ¹/₂ + √7        б) √3 + √7        в) √3+ (—√7)

329.  Исходя   из   определения   суммы  действительных   чисел, доказать, что для любого числа α

α + (— α) = 0.

330.   Всегда  ли   сумма    двух   бесконечных    непериодических дробей есть дробь непериодическая? Ответ пояснить примерами.

ОТВЕТЫ