|
|
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II § 47 Умножение действительных чисел В этом параграфе мы покажем, как можно прийти к естественному определению произведения двух действительных чисел α и β, из которых хотя бы одно является иррациональным. При этом мы будем исходить из того, что умножение рациональных чисел нами уже изучено (см. § 36). Сначала предположим, что числа α и β положительные. Пусть, например, α = 1/3, а β = √2 Представим эти числа в виде бесконечных десятичных дробей: 1/3 = 0,33333 ... ; √2 = 1,41421 ... . Перемножим соответственные десятичные приближения данных чисел с недостатком. Эти приближения представляют собой рациональные числа. А перемножать такие числа мы уже умеем: 0 • 1=0 Затем перемножим соответственные десятичные приближения данных чисел с избытком: 1•2 = 2 Можно доказать, что существует и притом единственное число γ, которое больше всех произведений десятичных приближений чисел 1/3 и √2 с недостатком, но меньше всех произведений десятичных приближений этих чисел с избытком: 0 < γ < 2 По определению это число γ и принимается за произведение чисел 1/3 и √2: Очевидно, что γ = 0,471... . Аналогично может быть определено и произведение любых других положительных действительных чисел, из которых хотя бы одно иррационально. Теперь нужно рассмотреть случай, когда хотя бы один из сомножителей α и β отрицателен. Если отрицательными являются оба сомножителя α и β то α • β = | α | • | β |. Если же один из сомножителей α и β положителен, а другой отрицателен, то α • β = — | α | • | β |. Например, (— 1/3 ) •. (—√2) = 1/3 • √2 = 0,471 ... ; (— 1/3 ) •.√2 = — ( 1/3 • √2 )= 0,471 ... ; Наконец, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и произведение считается равным нулю. Например, √2 • 0 = 0, 0 • (— √2) = 0 и т. д. Теперь мы можем дать общее определение произведения двух действительных чисел. Если числа α и β рациональны, то произведение их находится по правилу умножения рациональных чисел (см. § 36). Если хотя бы одно из чисел α и β иррационально и оба они положительны, то произведением их называется такое действительное число, которое больше всех произведений соответственных десятичных приближений этих чисел с недостатком, но меньше всех произведений соответственных десятичных приближений этих чисел с избытком. Если оба числа α и β отрицательны, то α • β = | α | • | β | Если одно из чисел α и β является Положительным, а другое отрицательным, то α • β = — ( | α | • | β | ) Наконец, если хотя бы одно из чисел α и β равно нулю, то α • β = 0. Нетрудно показать, что определенное таким образом действие умножения подчиняется следующим законам: 1) коммутативному закону: α • β = β • α; 2) ассоциативному закону: (α • β) • γ = α • ( β • γ). Кроме того, для любых действительных чисел α, β и γ выполняется соотношение (α + β) γ = α γ + βγ, которое выражает дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Упражнения 331. Данные произведения представить в виде десятичных дробей, указав не менее двух верных знаков после запятой: а) √2 • √3; ; г) √2• (— √5) ж) 3/4 • (—√6); б) √2 • 5/8; д) (—1/3)• √2; з) 1/3• √2• √3 в) (—√2) • √3; е) 11/9• (— √5); 332. Найти несколько первых десятичных приближений (с недостатком и с избытком) для действительных чисел: а) 1/2• √7; б) √3 • √7; в) √3 • (—√7). 333. Исходя ил определения произведения действительных чисел, доказать, что для любого числа α α • 1 = α. 334. Всегда ли произведение двух бесконечных непериодических дробей представляет собой непериодическую дробь? ОТВЕТЫ
|
