ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА  II

§ 48 Вычитание и деление действительных чисел

Основными алгебраическими действиями в множестве всех действительных чисел, так же как и в множестве всех рациональных чисел, являются сложение и умножение. Что же касается вычитания и деления, то эти действия определяются как обратные по отношению к действиям сложения и умножения.

1. Вычитание действительных чисел

Разностью α — β двух действительных чисел α и β называется такое число γ, которое в сумме с β дает α.

Другими словами, разность α — β определяется как корень, уравнения

β + х = α.                                  (1)

Как и в случае рациональных чисел (см. § 36), уравнение (1) всегда имеет и притом единственное решение. Таким образом, для любых действительных чисел α и β разность α — β существует и определена однозначно.

Покажем, например, как могут быть найдены приближенные значения разности

√2— ¹/₃

Заменив в этом выражении число √2 его любым десятичным   приближением   с   недостатком    (1; 1,4; 1,41; 1,414; ...),  а число ¹/₃ его любым   десятичным    приближением с избытком (1; 0,4; 0,34; 0,334; . . . ),   мы получим, очевидно, приближенное значение разности √2— ¹/₃ недостатком. Наоборот, если в   выражении √2— ¹/₃ число √2 заменить его любым десятичным приближением сизбытком    (2; 1,5;   1,42;   1,415; . . . ),   а число ¹/₃ его любым десятичным  приближением с недостатком (0; 0,3; 0,33; 0,333; . . . ), то полученная разность будет, очевидно,    представлять    собой   приближенное   значение √2— ¹/₃ с избытком. В частности,

1 — 1 < √2— ¹/₃ < 2 — 0,

или

.     0 < √2— ¹/₃ <2.

Это слишком грубое неравенство. Для получения более точных данных о разности √2— ¹/₃ возьмем   другие  приближения √2  и ¹/₃:

1,4 — 0,4 < √2— ¹/₃ < 1,5 — 0,3

или

1,0 <  √2— ¹/₃ < 1,2.

Это неравенство дает уже гораздо больше информации о разности √2— ¹/₃.  Из него,   в  частности,   вытекает,   что с точностью до   0,1

√2— ¹/₃ ≈ 1,1.

Если и такая точность нас не устраивает, мы можем продолжить наши рассуждения:

1,41 — 0,34 < √2— ¹/₃ < 1,42 — 0,33

или

1,07 < √2— ¹/₃ < 1,09.

Отсюда, в частности, получаем,  что с точностью до 0,01

√2— ¹/₃ ≈ 1,08.

Описанный способ нахождения приближенных значений разности √2— ¹/₃ можно  было бы продолжать и дальше. При этом будут получаться все более и более точные значения этой разности. (Заметим, однако, что ни на каком шаге мы не можем получить точного значения этой разности.  Почему?)

2. Деление действительных чисел

Частным α : β  от деления действительного числа α на действительное число β называется такое число γ, которое при умножении на β дает α.

Другими словами, частное α : β определяется как корень уравнения

β • х = α.                                              (2)

Можно доказать, что если β =/= 0,  то уравнение (2) имеет и притом единственный корень. Если же β = 0, то это уравнение либо вообще не имеет корней (при α =/= 0), либо имеет бесконечно много корней (при α = 0); в последнем случае любое число является  корнем уравнения (2).

Поэтому, если β =/= 0,   то частное α : β существует и определено однозначно; при β = 0 частное α : β не определено.

Покажем, например, как могут быть найдены приближенные значения Частного α : β при α = 1,532. . .., β = 2,037 ... . 

Если в выражении α : β число α заменить его любым десятичным приближением с недостатком (1; 1,5; 1,53; 1,532; . . .). а число β — его любым десятичным приближением с избытком (3; 2,1; 2,04; 2,038; . . . ), то полученное частное будет, очевидно, представлять собой приближенное значение α : β с недостатком

Наоборот, если в выражении α : β число α заменить любым егс десятичным приближением с избытком (2; 1,6; 1,54; 1,533; . . . ) а число β— любым его десятичным приближением с недостатком (2; 2,0; 2,03; 2,037; . . .), то полученное частное будет служить очевидно,   приближенным значением α : β  с  избытком.

В частности,

 1,532 : 2,038 < α : β < 1,533 : 2,037,

или

0,7516 < α : β < 0,7526.

Это дает по меньшей мере два   верных  десятичных знака (после запятой) частного:

α : β = 0,75  ...   .

Упражнения

335.   Вычислить с точностью, до 0,01:.

а)  √7—√3        в) √6 —  ³/₈

б)  √5 — ⁵/₆;            г) 0,25 —√6,

336.   Найти приближенное значение разности

1,7534. . . —  0,6325 . . .

с точностью до 0,001.

337.   Вычислить с точностью до 0,01:

а)    ^√2/_1,3657...   ;         б) ¹/₃ :  √5         в)  ^√3/_—√2 .

338.   Найти приближенные значения частного

^0,023... /_{0,041 ...}

с точностью до:   а) 0,1;   б) 0,01.

339.  Доказать,  что для любого действительного числа α , отличного от нуля,

α : α = 1.

340.   Разность между действительным   числом α и одним   из его десятичных приближений есть число    рациональное.   Каким является само число α : рациональным или иррациональным?

341.  Может ли  частное от деления  иррационального  числа на   какое-нибудь   его   десятичное   приближение    быть   числом рациональным?

ОТВЕТЫ