ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА  II

Задачи на повторение

342.  Разрешимо ли уравнение

а + х = b

(а и b — заданные натуральные числа)

а)  в множестве всех натуральных чисел;

б)  в множестве всех положительных рациональных чисел;

в)  в множестве всех целых чисел?

343.  Разрешимо ли уравнение

ах = b

(а и  b — заданные целые числа)

а)  в множестве всех целых чисел;

б)  в множестве всех рациональных чисел?

344.  Может ли уравнение

√m + x = √n

(т и п — заданные натуральные числа)

а)  иметь иррациональный корень;

б)  иметь рациональный корень;

в)  не иметь действительных корней?

345.   Числа  α + β  и  α — β рациональны. Будут ли рациональными числа α и β?

346.   Если за единицу длины принять отрезок Δ₁  , то длина отрезка АВ выразится рациональным числом; если же в качестве единицы длины выбрать отрезок  Δ₂, то длина отрезка АВ  выразится иррациональным числом. Докажите, что отрезки Δ₁ и Δ₂ несоизмеримы.

347.  Может ли произведение двух периодических десятичных дробей быть дробью   непериодической?

348.  Методом от противного доказать, что сумма рационального числа с иррациональным числом есть число иррациональное.

Доказанное утверждение сформулировать в терминах бесконечных десятичных дробей (периодических и непериодических).

349.  Может   ли   сумма   двух   иррациональных    чисел   быть числом рациональным? Ответ пояснить примерами.

350.  Может ли произведение двух иррациональных чисел быть числом рациональным? Ответ пояснить примерами.

351.  Может ли случиться так, что первые 10 степеней числа а

а, а², а³ , . . . ,  а¹⁰

будут иррациональными, а следующие 10 степеней

а¹¹, а¹², а¹³ , . . . ,  а²⁰

— рациональными?

352.  Пусть а и b — некоторые рациональные числа. Докажите, что если а + b√2=/= 0, то и а  — b√2=/= 0.  Привести не менее двух различных способов доказательства.

353.  Доказать,  что    числа √3 + √2  и √3 — √2 являются иррациональными.

ОТВЕТЫ