КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН  III

§ 49  Выделение из квадратного трехчлена полного квадрата

Квадратным трехчленом относительно переменной величины х называется выражение вида ax²  + bx + c, где а, b и с — заданные числа, причем а =/= 0.

Преобразуем  квадратный трехчлен ax²  + bx + c следующим   образом. Прежде всего вынесем за скобки коэффициент при x²:

ax²  + bx + c = а (x²  + ^b/_a x  + ^c/_a) .

Затем выражение  ^b/_a x представим в виде 2• ^b/_2a • х   (удвоенное произведение   числа ^b/_2a  на число х):

а (x²  + ^b/_a x  + ^c/_a) =  а (x²  + 2• ^b/_2a • х  + ^c/_a)

К выражению, стоящему в скобках, прибавим и вычтем из него число , являющееся квадратом числа   ^b/_2a. В результате получим:

Преобразование квадратного трехчлена к виду (1) называется выделением полного квадрата. Проиллюстрируем это преобразование на некоторых частных примерах:

1)   —2x² — 4x + 5 = — 2(x² + 2х — ⁵/₂) =

= —2 [( x² + 2 • х • 1 +1 ) —1 — ⁵/₂] = —2[(х+1)² — ⁷/₂ ] = —2 (х+1)² + 7.

2)   ¹/₃  x² — 5x + 7  =¹/₃ (x² —15x + 21) = ¹/₃ [(x² —2• ¹⁵/₂ • х + ²²⁵/₄) — ²²⁵/₄ +21] =

= ¹/₃ [( x — ¹⁵/₂ )² — ¹⁴¹/₄ ]  =  ¹/₃ ( x — ¹⁵/₂ )² — ⁴⁷/₄

Упражнения

Выделить    полные    квадраты    в    следующих    выражениях (№ 354—361):

354. 2x² + 4x — 3.                             358. (х — 2) (х — 4).

355. ¹/₃  x²  — 4х + 16.                     359. ах² — 4а²х + 4а³ +3

356.   — 5x² + 20x — 13.                 360. 6а²х — 9а³ — ах² + а — 1.

357.   — 0,5x — 0,25x² — 2,25       361.  (х + а) (х + b).

362.  Доказать, что квадратный трехчлен х² + х + 1 при всех значениях х принимает положительные значения.

363.  Доказать,    что   квадратный   трехчлен — 3х² + 12х — 13   при всех значениях х принимает отрицательные значения.

ОТВЕТЫ