|
|
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III § 50 Квадратные уравнения Уравнения вида ax2 + bx + c = 0, (1) где х — неизвестная величина, а, b, с — данные числа (а =/= 0), называются квадратными. Выделяя в левой части квадратного уравнения полный квадрат (см. формулу (1) § 49), получаем:
Очевидно, что уравнение (2) эквивалентно уравнению (1) (см. § 2). Уравнение (2) может иметь действительные корни только тогда, когда Ввиду той особой роли, которую играет выражение D = b2 — 4ас при решении уравнения (1), этому выражению дано специальное название — дискриминант квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 (или дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c ). Итак, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней. Если же D =b2 — 4ас > 0, то из (2) получаем:
Если дискриминант квадратного уравнения неотрицателен, то это уравнение имеет действительные корни. Они записываются в виде дроби, в числителе которой стоит коэффициент уравнения при х, взятый с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из дискриминанта, а в знаменателе — удвоенный коэффициент при х2. Если дискриминант квадратного уравнения положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня:
Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень: х = — b/2a (В этом случае иногда говорят, что уравнение имеет два равных корня: x1 = x2 = —b/2a ) Примеры. 1) Для уравнения 2х2 — х — 3 = 0 дискриминант D = (— 1)2 — 4 • 2 • ( — 3) = 25 > 0. Уравнение имеет два различных корня:
2) Для уравнения 3х2 — 6х + 3 = 0 D = (— 6)2 — 4 • 3 • 3 = 0. Это уравнение имеет один действительный корень
3) Для уравнения 5х2 + 4х + 7 = 0 D = 42 — 4 • 5 • 7 = — 124 < 0. Это уравнение не имеет действительных корней. 4) Выяснить, при каких значениях а квадратное уравнение х2 + ах + 1 = 0: а) имеет один корень; б) имеет два разных корня; в) вообще не имеет корней, Дискриминант данного квадратного уравнения равен D = а2 — 4. Если | а | = 2, тo D = 0; в этом случае уравнение имеет один корень. Если | а | > 2, то D > 0; в этом случае уравнение имеет два разных корня. Наконец, если | а | < 2, то данное уравнение не имеет корней. Упражнения Решить уравнения (№ 364—369): 364. 6х2 — х — 1 = 0. 367. — х2 + 8х — 16 = 0. 365. 3х2 — 5х + 1 = 0. 368. 2х2 — 12х + 12 == 0. 366. х2 — х + 1 = 0. 369. 2х — х2 — 6 = 0. 370. Можно ли число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы их произведение было равно 70? 371. При каких значениях а уравнение х2 — 2ах + а (1 + а) = 0 а) имеет два различных корня; б) имеет только один корень; в) не имеет корней? 372. При каких значениях а уравнение (1 — а) х2 — 4ах + 4 (1 — а) = 0 а) не имеет корней; б) имеет не более одного корня; в) имеет не менее одного корня? 373. При каком значении а уравнение х2 + ах + 1 = 0 имеет единственный корень? Чему он равен? 374. В каких пределах заключено число а, если известно, что уравнения х2 + х + а = 0 и х2 + х — а = 0 имеют одинаковое число корней? 375. Что вы можете сказать о величине а, если уравнения 4а (х2 + х) = а — 2,5 и х (х — 1) = 1,25 — а имеют одинаковое число корней? 376. Поезд был задержан на станции на t мин. Чтобы наверстать потерянное время, машинист увеличил скорость на а км/ч и на следующем перегоне в b км ликвидировал опоздание. С какой скоростью поезд шел до задержки на станции? 377. Два подъемных крана, работая вместе, разгрузили баржу за t ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если один из них тратит на это на а ч меньше другого? 378. Один из заводов выполняет некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить заказ каждый завод, работая отдельно, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ в 5 раз больший? Решить уравнения (№ 379, 380). (Обратите внимание на та, что в этих уравнениях неизвестное содержится в знаменателях дробей. Полученные корни необходимо будет проверить!)
381*. При каких значениях а уравнения х2 + ах + 1 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень? ОТВЕТЫ
|
или b2 — 4ас > 0 (поскольку 4а2 > 0).
