КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН  III

§ 51 Частные виды квадратных уравнений

В этом параграфе мы изучим некоторые наиболее важные частные виды квадратных уравнений. При этом каждый раз, не оговаривая это специально, мы будем предполагать, что дискриминант рассматриваемого квадратного уравнения неотрицателен.

1. Уравнение с «четным коэффициентом при х». Если в уравнении ax2  + bx + c 0 коэффициент при х имеет вид b = 2k (например, b = 4, b = 2√2 и т. д.), то формула для корней этого уравнения  несколько   упрощается. Подставив    в   соотношение

Таким образом, корни квадратного уравнения ax2  + 2kx + с = 0 можно записать в виде дроби, в числителе которой — половина коэффициента при х, взятого с противоположным знаком, плюс- минус корень квадратный из квадрата этой половины без произведения коэффициента при  x2 и свободного члена, а в знаменателе — коэффициент при x2.

Например, чтобы решить уравнение

5x2 — 16х + 3 = 0,

нет необходимости применять общую формулу

В данном случае следует отдать предпочтение доказанной выше формуле

Используя ее,  получаем:

2. Приведенное квадратное уравнение. Квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при x2 равен 1. Общий вид приведенного квадратного уравнения таков:

x2  + px + q = 0,                                 (1)

где р и q — некоторые числа.

Полагая в общей формуле для корней квадратного уравнения

а = 1, b = р, с = q , получим формулу для корней приведенного квадратного уравнения:

Корни приведенного квадратного уравнения равны половине коэффициента при х, взятогo с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этой половины без свободного члена.

Пример.   

Пусть    x2 + 4x — 12 = 0.

Тогда

х = — 2 ± √4 + 12  = — 2 ± 4,

или

x1 = 2;             x2 = — 6.

Замечание. Любое квадратное уравнение ax2  + bx + c  = 0 можно свести к приведенному квадратному, уравнению посредством деления на а:

ax2  + bx + c = 0,    x2  + b/a x + c/a = 0.

Упражнение

382. Решить уравнения, используя в каждом случае наиболее удобную формулу:

а)  3x2 —   5х+   2 = 0;                   г)   x2 +   7х — 30 == 0;

б)  3x2 —  20х — 52 = 0;               д) 5x2 +   9х —  14 = 0;

в)   x2 — 10х + 24 = 0;                   е) 4x2 —  х + 10 = 0.

Используются технологии uCoz