КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 51 Частные виды квадратных уравнений
В этом параграфе мы изучим некоторые наиболее важные частные виды квадратных уравнений. При этом каждый раз, не оговаривая это специально, мы будем предполагать, что дискриминант рассматриваемого квадратного уравнения неотрицателен.
1. Уравнение с «четным коэффициентом при х». Если в уравнении ax2 + bx + c 0 коэффициент при х имеет вид b = 2k (например, b = 4, b = 2√2 и т. д.), то формула для корней этого уравнения несколько упрощается. Подставив в соотношение
Таким образом, корни квадратного уравнения ax2 + 2kx + с = 0 можно записать в виде дроби, в числителе которой — половина коэффициента при х, взятого с противоположным знаком, плюс- минус корень квадратный из квадрата этой половины без произведения коэффициента при x2 и свободного члена, а в знаменателе — коэффициент при x2.
Например, чтобы решить уравнение
5x2 — 16х + 3 = 0,
нет необходимости применять общую формулу
В данном случае следует отдать предпочтение доказанной выше формуле
Используя ее, получаем:
2. Приведенное квадратное уравнение. Квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при x2 равен 1. Общий вид приведенного квадратного уравнения таков:
x2 + px + q = 0, (1)
где р и q — некоторые числа.
Полагая в общей формуле для корней квадратного уравнения
а = 1, b = р, с = q , получим формулу для корней приведенного квадратного уравнения:
Корни приведенного квадратного уравнения равны половине коэффициента при х, взятогo с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этой половины без свободного члена.
Пример.
Пусть x2 + 4x — 12 = 0.
Тогда
х = — 2 ± √4 + 12 = — 2 ± 4,
или
x1 = 2; x2 = — 6.
Замечание. Любое квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 можно свести к приведенному квадратному, уравнению посредством деления на а:
ax2 + bx + c = 0, x2 + b/a x + c/a = 0.
Упражнение
382. Решить уравнения, используя в каждом случае наиболее удобную формулу:
а) 3x2 — 5х+ 2 = 0; г) x2 + 7х — 30 == 0;
б) 3x2 — 20х — 52 = 0; д) 5x2 + 9х — 14 = 0;
в) x2 — 10х + 24 = 0; е) 4x2 — х + 10 = 0.
|