КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 56. Биквадратные уравнения
Биквадратными называются уравнения вида
ax4 + bx2 + c = 0 (1)
где a, b и с — заданные числа, причем а =/= 0.
Решение таких уравнений сводится к решению квадратных уравнений. Действительно, полагая в (1) у = x2, получаем:
ау2 + by + с = 0.
Найдя из этого уравнения у и учитывая, что у = x2, легко получить и х.
Пример. Решить уравнение
x4 — 5x2 — 36 = 0.
Полагая у = x2, получаем:
у2 — 5у — 36 = 0,
откуда у1 = —4, у2 = 9. Поскольку у может принимать только неотрицательные значения (ведь у = x2), первый из этих корней является «посторонним». Следовательно, x2 = 9, откуда x1 = —3, x2 = 3.
Подобным способом можно решать и более широкий круг уравнений, а именно уравнения вида
ах2n + bхn+ с = 0,
где п — любое натуральное число. Полагая здесь
у = xn,
мы приходим к квадратному уравнению
ау2 + by + с = 0
Пример. Решить уравнение
х6 — 7х3 — 8 = 0.
Полагая у = х3, получаем:
у2 — 7у — 8 = 0,
откуда
у1 = —1, у2 = 8.
Вспоминая, что у = х3, получаем следующие два корня данного уравнения: x1 = —1, x2 = 2.
|