КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН  III

§ 61. Квадратные неравенства

Неравенства   вида  ax²  + bx + c > 0, ax²  + bx + c < 0, ax²  + bx + c > 0,   ax²  + bx + c < 0, где a, b и с — заданные числа и а =/=0, называются квадратными  (или неравенствами второй степени).

В этом параграфе мы ограничимся лишь  рассмотрением    неравенств   вида

ax²  + bx + c > 0.

Такие неравенства лучше всего решать, используя геометрическую иллюстрацию.   Рассмотрим отдельно два случая:

а > 0 и   а < 0.

Случай 1. а > 0. В этом случае парабола  y = ax²  + bx + c  направлена вверх.
Если D = b² — 4ac < 0, то квадратный трехчлен ax²  + bx + c  не имеет действительных корней. Значит, парабола y = ax²  + bx + c   не пересекает оси х и расположена целиком выше оси х (рис. 83).

Это означает, что в данном случае неравенство ax²  + bx + c  > 0 выполняется при любых значениях х.

Если D  = b² — 4ac  > 0, то парабола  y = ax²  + bx + c пересекает ось х в двух точках (рис. 84) с абсциссами:

Поэтому ax²  + bx + c > 0 при х < x₁ а также при х > x₂.

Наконец, если D  = b² — 4ac  = 0, то трехчлен  ax²  + bx + c  имеет один корень
х = —^b/_2a  и, следовательно, представим в виде а ( х + ^b/_2a )²

В этом случае парабола у = ax²  + bx + c  касается оси х в точке с абсциссой —^b/_2a (рис. 85).

Поэтому ax²  + bx + c > 0 при всех значениях х,  кроме х = —^b/_2a

Случай 2. а <  0. В этом случае парабола у = ax²  + bx + c  направлена вниз.
Если D = b² — 4ac  < 0, то уравнение ax²  + bx + c = 0 не и имеет действительных корней и, значит, парабола  у = ax²  + bx + c  лежит целиком ниже оси х (рис. 86).

Поэтому неравенство ax²  + bx + c > 0 не выполняется ни при  каких  значениях  х.

Если D = b² — 4ac  > 0, то парабола у = ax²  + bx + c пересекает ось х в двух точках с абсциссами

  (рис. 87).

В этом случае ax²  + bx + c > 0 при тех значениях х, которые расположены между корнями уравнения ax²  + bx + c = 0, то есть при

x₁ < x < x₂.

Наконец, если D= b² — 4ac = 0, то парабола  у = ax²  + bx + c   касается оси х в точке с абсциссой х = —^b/_2a (рис. 88).

В этом случае неравенство ax²  + bx + c > 0 не выполняется ни при каких значениях  х.

Замечание 1.Из рассмотренного вытекает, что если дискриминант квадратного трехчлена ax²  + bx + c положителен, то этот трехчлен принимает как положительные, так и отрицательные значения. Если же дискриминант отрицателен, то все значения квадратного трехчлена имеют один и тот же знак, а именно знак коэффициента при x².

Замечание 2. При решении неравенства ax²  + bx + c  > 0 нет необходимости точно строить параболу у = ax²  + bx + c (например, совсем не нужно искать вершину параболы, точку пересечения с осью у и т. д.). Достаточно лишь грубо представить себе эту кривую. Единственное, что нужно сделать абсолютно точно, — это найти корни уравнения  ax²  + bx + c = 0 (при D > 0).