КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН  III

§ 62. Примеры решения квадратных неравенств

Пример 1.    Решить  неравенство          2x² + 4x — 6 > 0.

Квадратный трехчлен 2x² + 4x — 6 имеет два действительных корня x₁ = —3, x₂ =1. Поэтому парабола у = 2x² + 4x — 6 пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны —3 и 1. Поскольку коэффициент при x² больше нуля, парабола у = 2x² + 4x — 6 направлена вверх (рис. 89).

Из рисунка видно, что трехчлен 2x² + 4x — 6 положителен при х < — 3 и при х >1.

Пример 2.  Решить неравенство

— x² + x — 1 > 0.

Дискриминант квадратного трехчлена — x² + x — 1 отрицателен: D = —3. Поэтому при всех х значения функции у = — x² + x — 1 имеют один и тот же знак, а именно знак коэффициента при x², то есть минус. Следовательно, неравенство — x² + x — 1 > 0 не выполняется ни при каких значениях х.

Пример 3. Выяснить, при каких значениях   х  дробь

положительна   и   при   каких — отрицательна.

Сначала указанным выше способом определим знаки числителя и знаменателя данной дроби, а затем сравним их.

Числитель x² + 2x² — 3 положителен при х < —3 и при х > 1, а отрицателен при
—3 < х < 1 (рис. 90, верхняя числовая ось).

Знаменатель 2х — x² положителен при 0 < х < 2 и отрицателен при х < 0 и при х >2 (рис. 90, нижняя числовая ось). Из рисунка 90 видно, что данная дробь будет положительна при — 3 < х < 0 (в этом случае числитель и знаменатель отрицательны) и при
1< x <2 (в этом случае числитель и знаменатель положительны); отрицательной она будет при х <. —3 (числитель положителен, знаменатель отрицателен), при 0 < х < 1 (числитель отрицателен, знаменатель положителен) и при х > 2 (числитель положителен, знаменатель отрицателен).

Упражнения

Решить  данные  неравенства   (№ 439—446):

439.  x² — 4x + 3 > 0.               443.  x²  + x + 1 < 0.

440.  x² — 6x + 5 < 0.              444. x²  — x + 1 > 0.

441.  — 5x² + 3x + 2 > 0.         445. x² — 6x + 10 < 0.

442.  x (1 — x) > 0.                    446. — 3x²  + 2x + 1 >0.

447.  Найти целые значения х, удовлетворяющие неравенству

4x² + 4x — 3 < 0.

Решить  неравенства   (№ 448,   449):

450.  Найти целые значения x,  удовлетворяющие системе неравенств

При  каких  значениях  а данные  неравенства  (№ 451,   452) удовлетворяются для всех значений x?

451. (а — 1)x² — (а+ 1)x + (а + 1) > 0. 

452. (а — 2)x² + 2(2а — 3)x + 5а — 6 < 0.

453.  При каких значениях а уравнение

(а — 3)x²— 2 (3а — 4) x +  7а — 6 = 0

имеет  действительные   корни?

454.  При   каких  значениях  а  уравнение

5(а + 4)x² — 10x + а = 0

имеет:

а)  действительные   корни;

б)  действительные корни одного знака;

в)  действительные корни разных  знаков?

455.   Не   решая   уравнения

x² — (а + 1) х + (3а — 5) = 0,  

определить знаки его корней.

ОТВЕТЫ