|
|
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III § 63. Решение некоторых систем уравнений В этом параграфе мы рассмотрим некоторые типичные системы уравнений, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. Пример 1. Решить систему уравнений
Поскольку второе уравнение этой системы линейно относительно каждой из переменных х и у, то одна из этих переменных,; например у, легко выражается через другую: у = х — 1. Подставляя это выражение для у в первое уравнение системы, получаем: x2 + 3 (х — 1)2 — х (х — 1) — 2х + 1 = 0, откуда 3x2 — 7x +4 = 0; x1 = 4/3; x2 = 1 Этим значениям х согласно второму уравнению системы соответствуют следующие значения у: y1 = 1/3; y2 = 0. Таким образом, данная система уравнений имеет два решения: x1 = 4/3; y1 = 1/3; и x2 = 1; y2 = 0. Пример 2. Решить систему уравнений Характерная особенность этой системы уравнений состоит в том, что она содержит лишь выражения x2, y2 и ху, суммарная степень х и у в которых постоянна и равна 2. Для решения данной системы выполним следующие преобрaзования. Из первого уравнения системы (1) вычтем второе, умноженное на 2. В результате получим уравнение 2x2 — 3ху + y2 = 0, (2) правая часть которого равна 0. Заметим, что х =/= 0. В противном случае из (2) вытекало бы, что у = 0, а это явно противоречит уравнениям системы (1). Но если х =/= 0, то уравнение (2) можно почленно разделить на x2, что дает 2— 3 y/x + ( y/x )2 = 0. Мы получили квадратное уравнение относительно y/x. Из него следует, что либо y/x = 1, либо y/x = 2. Рассмотрим эти два случая отдельно. 1) Если y/x = 1, то у = х. Замена у в первом уравнении данной системы на х приводит к следующему результату: 4x2 + 5x2 + 3x2 = 16, или 12x2 = 16. Следовательно,
Отсюда получаем следующие два решения данной системы: x1 = 2/√3 , y1= 2/√3 ; x2= — 2/√3 , y2= — 2/√3 2) Если y/x = 2, то у = 2х. Заменяя у в первом уравнении данной системы на 2х, получаем: 14x2 — 10x2 + 12x2 = 16, или 16x2 = 16. Следовательно, х = ±1. Отсюда, учитывая, что у = 2х, получаем еще два решения данной системы: x1 = 1, y1= 2; x2= — 1 , y2= — 2 Проверка показывает, что ни одно из полученных четырех решений системы (1) не является "посторонним". Ответ. Данная система уравнений имеет 4 решения: 1) x1 = 2/√3 , y1= 2/√3 ; 2) x2= — 2/√3 , y2= — 2/√3 3) x1 = 1, y1= 2; 4) x2= — 1 , y2= — 2 Пример 3. Решить систему уравнений
Если только данная система уравнений имеет решение, то по теореме, обратной теореме Виета, это решение должно состоять из корней квадратного уравнения (см. § 52): x2 — 6x — 7 = 0. Это уравнение имеет корни x1= —1, x2 = +7. Следовательно, в роли решений данной системы уравнений могут выступать только следующие две пары чисел: x1 = — 1, y1 = 7 и x2 = 7, y2 = — 1. Элементарная проверка показывает, что каждая из этих пар чисел является решением нашей системы. Ответ. Данная система уравнений имеет два решения: x1 = — 1, y1 = 7 и x2 = 7, y2 = — 1. Пример 4. Решить систему уравнений
Из второго уравнения следует, что х • (—у)= 7. Поэтому
Мы получили систему уравнений, вполне аналогичную системе, рассмотренной в примере 3. Только роль неизвестных играют не х и у, как в примере. 3, а х и — у. Поэтому дальнейший ход решения этой системы такой же, как в примере 3. Учащимся предлагается провести его самостоятельно. Пример 5. Решить систему уравнений
Из второго уравнения получаем x2y2 = 4. Но в таком случае по теореме, обратной теореме Виета, x2 и y2 можно рассматривать как корни квадратного уравнения z2 — 5z + 4 = 0, откуда z1 = 4, z2 = 1. Поэтому возможны два случая: 1) x2 = 4, и тогда y2 = 1; 2) x2= 1, и тогда y2 = 4. Случай 1. Если х = + 2, то у = —1 (согласно второму уравнению исходной системы ху = — 2 ). Если х =— 2, то у = 1. Случай 2. Если x = 1, то у = — 2, если же x = — 1, то у = 2. Мы получили 4 решения данной системы уравнений: x1 = 2, y1 = — 1 ; x2 = — 2, y2 = 1; x3 = 1, y3 = — 2 ; x4 = — 1, y4 = 2. Упражнения Решить данные системы уравнений:
ОТВЕТЫ
|
(1)
