КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН  III

§ 65. Иррациональные уравнения

Иррациональными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестное под знаком радикала. К таким относятся, например,  уравнения

√x — 1  = 3 + √x  ,   √x = 5 — 4х,

³√2 — x  = ⁴√x + 6  +7x   и т. д.

Мы ограничимся рассмотрением иррациональных уравнений, которые содержат только квадратные радикалы. В связи с этим следует напомнить, что квадратные корни можно извлекать только из неотрицательных чисел.  Такие,  например,  выражения,  как   √— 3, √— 25, √— 10, не имеют смысла. Далее, под квадратным корнем из положительного числа мы всегда подразумеваем его арифметическое, то есть положительное, значение. Так, √4 = 2, а нe —2; √25 = 5, а не —5; √2= 1,4142..., а не —1,4142...   и   т.   д.

Этих замечаний уже достаточно для того, чтобы мы могли рассмотреть несколько типичных примеров иррациональных уравнений.

Пример    1.    Решить  уравнение

√x + 2  + √1 — x  = 3.

Квадратные корни можно извлекать лишь из неотрицательных чисел. Поэтому допустимые значения неизвестной величины х должны удовлетворять системе неравенств

Первое неравенство этой системы дает х > 2, второе х < 1. Очевидно, что одновременно эти условия выполняться не могут. Поэтому множество допустимых значений неизвестной величины х в данном случае пусто, то есть не содержит ни одного числа. Но в таком случае данное уравнение не может иметь действительных   корней.

Рассмотренный пример учит нас постоянно помнить о следующем важном обстоятельстве.

Прежде чем решать то или иное иррациональное уравнение, нужно быть уверенным, что множество допустимых значений неизвестной величины не пусто. Если ни одно из чисел не является допустимым для неизвестной величины, то можно сразу же сказать, что уравнение не имеет корней.

Пример   2.   Решить уравнение

√x  + √1 — x  = — 2.

Ни один из корней √x   и √1 — x   не может быть отрицательным. Поэтому ни при каких действительных значениях величины х сумма этих корней не может равняться—2. Следовательно, данное уравнение также не имеет корней.

Заметим, что здесь не было необходимости исследовать, какие значения может принимать неизвестная величина х. Отсутствие корней данного уравнения мы установили и без этого исследования.

Мы рассмотрели два простейших примера иррациональных уравнений. В следующем параграфе будут рассмотрены более сложные  примеры.

Упражнения

Показать, что данные уравнения не имеют корней:

471√x — 3 + √x + 3 = —1.                473. √3x — 5 +√6 — x = 7.

472. √2x — 7 + √x= 0.                       474. √4 — 4x  + √x — 2 = 6.