КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 66. Примеры решения иррациональных уравнений
Обычный способ решения иррациональных уравнений состоит в освобождении их от радикалов и сведении к уже изученным нами типам алгебраических уравнений (например, к линейным или квадратным). Добиться этого иногда удается путем почленного возведения иррационального уравнения в степень. Поясним это на ряде частных примеров.
Пример 1. Решить уравнение
x = √2 — x .
Множество допустимых значений величины х определяется неравенством х < 2. Чтобы среди всех этих значений найти корни нашего уравнения, возведем обе его части в квадрат. В результате получим:
x2 = 2 — х,
x2 + х — 2 = 0,
откуда
x1 = — 2, x2 = 1.
Каждое из двух полученных чисел попадает в множество допустимых значений величины х. Но это еще не означает, что — 2 и 1 — корни данного уравнения. Ведь к уравнению x2 = 2 — х мы пришли путем почленного возведения в квадрат исходного уравнения
x = √2 — x
Но к такому же результату мы пришли бы, если бы почленно возвели в квадрат не это, а другое уравнение
x = —√2 — x
отличное от данного. Следовательно, в результате выполненных преобразований мы можем получить новые, посторонние корни — корни уравнения x = —√2 — x , которые нас в данном случае не интересуют. Вот почему, прежде чем дать ответ к данной задаче, необходимо сделать проверку полученных корней.
При х = — 2 левая часть данного уравнения принимает значение —2, а правая √4 = 2. Поскольку —2 =/= 2, число —2 не есть корень данного уравнения. При х = 1 обе части нашего уравнения принимают значения, равные 1. Поэтому 1 — корень этого уравнения.
Итак, данное уравнение имеет один корень х = 1. Чтo же касается числа —2, полученного нами выше, то оно, как и следовало ожидать, является корнем уравнения x = —√2 — x .
Пример 2. Решить уравнение
х = 1 + √x + 5.
Множество допустимых значений неизвестной величины в данном случае определяется неравенством х > — 5.
Перенося 1 из правой части в левую и возводя обе части полученного уравнения в квадрат, мы приходим к уравнению
( x — 1 )2 = ( √x + 5 )2,
x2 — 2x + 1 = x + 5, x2 — 3x — 4 = 0,
откуда
x1 = 4, x2 = —1.
Проверка показывает, что из этих двух чисел корнем данного уравнения является лишь число 4. Число —1 является посторонним корнем.
Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень х = 4.
Пример 3. Решить уравнение
√x — 5 + √10 — x = 3.
Множество допустимых значений х определяется, очевидно, неравенством
5 < х < 10.
Возведя обе части данного уравнения в квадрат, мы получим:
x — 5 + 2√(x — 5) (10 — х) + 10 — х = 9,
2√(x — 5) (10 — х) = 4, √(x — 5) (10 — х) = 2.
С последним уравнением мы поступим так же, как и с исходным: возведем его почленно в квадрат. В результате получим:
(х — 5) (10 — х) = 4, —x2 + 15x — 50 = 4, x2 — 15x + 54 = 0.
Итак, в результате двукратного почленного возведения данного уравнения в квадрат в сочетании с другими элементарными преобразованиями мы пришли к простому квадратному уравнению, корни которого равны:
x1 = 6, x2 = 9.
Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями данного уравнения.
Ответ. x1 = 6, x2 = 9.
Пример 4. Решить уравнение
√x + 7 + √x — 1 = 4 .
Множество допустимых значений неизвестной величины х определяется в данном случае неравенством х > 1. Это уравнение можно было бы решить тем же способом, которым мы решали предыдущее уравнение. Для этого нам пришлось бы дважды применять метод почленного возведения в квадрат.
В данном случае можно предложить и другой прием. Умножим почленно данное уравнение на выражение √x + 7 — √x — 1 , сопряженное* выражению √x + 7 + √x — 1 :
(√x + 7 + √x — 1)(√x + 7 — √x — 1) = 4 (√x + 7 — √x — 1).
В результате, используя формулу для произведения суммы двух чисел на их разность, получим:
(х + 7) — (х — 1) = 4 (√x + 7 — √x — 1).
Отсюда
4 (√x + 7 — √x — 1) = 8, √x + 7 — √x — 1 = 2.
Теперь мы имеем:
√x + 7 + √x — 1= 4,
√x + 7 — √x — 1= 2.
Складывая почленно эти уравнения, получаем:
2 √x + 7 = 6,
откуда
√x + 7 = 3, х + 7 = 9, х = 2.
В процессе решения данного уравнения нам пришлось обе его части умножить на √x + 7 — √x — 1. Но в результате такого преобразования могли получиться посторонние корни. Вот почему теперь необходимо проверить, является ли полученное число 2 корнем исходного уравнения.
При х = 2 левая часть данного уравнения принимает значение
√9 + √1= 3 +1 = 4.
Следовательно, х = 2 — корень данного уравнения.
Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень х = 2.
-------------------------------------------------
* Одно выражение, содержащее знак радикала, называется сопряженным другому выражению, содержащему знак радикала, если произведение втих выражений можно записать уже без знака радикала. Так, выражение √x + 7 — √x — 1 является сопряженным выражению √x + 7 + √x — 1, поскольку
(√x + 7 + √x — 1)(√x + 7 — √x — 1) = (х + 7) — (х — 1) = 8;
выражение √a + 1 будет сопряженным выражению √a — 1, так как
(√a — 1) (√a + 1) = а — 1, и т. д.
-------------------------------------------------------------
Рассмотренные методы решения иррациональных уравнений таковы, что, используя их, мы не можем потерять никаких корней. Зато, как показывают примеры 1 и 2, мы можем получить посторонние корни. Поэтому еще раз подчеркнем, что проверка полученных корней путем их подстановки в исходные уравнения является важной составной частью решения иррациональных уравнений.
Упражнения
Решить уравнения:
ОТВЕТЫ
|