КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН  III

§ 66. Примеры решения иррациональных уравнений

Обычный способ решения иррациональных уравнений состоит в освобождении их от радикалов и сведении к уже изученным нами типам алгебраических уравнений (например, к линейным или квадратным). Добиться этого иногда удается путем почленного возведения иррационального уравнения в степень. Поясним это на ряде  частных  примеров.

Пример    1. Решить уравнение

x = √2 x  .

Множество допустимых значений величины х определяется неравенством х < 2. Чтобы среди всех этих значений найти корни нашего уравнения, возведем обе его части в квадрат. В результате  получим:

x2 = 2 —  х,

x2 + х — 2 = 0,

откуда

x1 = — 2,    x2 = 1.

Каждое из двух полученных чисел попадает в множество допустимых значений величины х. Но это еще не означает, что — 2 и 1 — корни данного уравнения. Ведь к уравнению x2 = 2 —  х мы пришли путем почленного возведения в квадрат исходного   уравнения

x = √2 x  

Но к такому же результату мы пришли бы, если бы почленно возвели в квадрат не это, а другое уравнение

x = —√2 x  

отличное от данного. Следовательно, в результате выполненных преобразований мы можем получить новые, посторонние корни — корни уравнения x = —√2 x , которые нас в данном случае не интересуют. Вот почему, прежде чем дать ответ к данной задаче, необходимо сделать проверку полученных корней.

При х = — 2 левая часть данного уравнения принимает значение —2, а правая √4 = 2. Поскольку —2 =/= 2, число —2 не есть корень данного уравнения. При х = 1 обе части нашего уравнения принимают значения, равные 1. Поэтому 1 — корень этого  уравнения.

Итак, данное уравнение имеет один корень х = 1. Чтo же касается числа —2, полученного нами выше, то оно, как и следовало ожидать, является корнем уравнения
x = —√2 x  .

Пример    2.    Решить  уравнение

х = 1 + √x + 5.

Множество допустимых значений неизвестной величины в данном случае определяется  неравенством х > — 5.

Перенося 1 из правой части в левую и возводя обе части полученного уравнения в квадрат,   мы   приходим  к  уравнению

( x — 1 )2 = ( √x + 5 )2,

x2  — 2x  + 1 = x  + 5,   x2  — 3x  — 4 = 0,

откуда

x1 = 4,    x2 = —1.

Проверка показывает, что из этих двух чисел корнем данного уравнения является лишь число 4. Число —1 является посторонним корнем.

Ответ.   Данное уравнение имеет единственный корень х = 4.

Пример   3.   Решить уравнение

x — 5 + √10 x  = 3.

Множество допустимых значений х определяется, очевидно, неравенством

5 < х < 10.

Возведя обе части данного   уравнения в квадрат,   мы   получим:

x — 5 + 2√(x — 5) (10 — х) + 10 — х = 9,

2√(x — 5) (10 — х)  = 4,   √(x — 5) (10 — х) = 2.

С последним уравнением мы поступим так же, как и с исходным: возведем его почленно в квадрат. В результате   получим:

(х — 5) (10 — х) = 4,    —x2 + 15x — 50 = 4,    x2 — 15x + 54 = 0.

Итак, в результате двукратного  почленного возведения данного уравнения в квадрат в сочетании с другими элементарными преобразованиями мы пришли к простому квадратному уравнению, корни   которого   равны:

x1 = 6,    x2 = 9.

Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями данного   уравнения.

Ответ. x1 = 6,    x2 = 9.

Пример    4.    Решить  уравнение

x + 7  + √x — 1 = 4 .

  Множество допустимых значений неизвестной величины х определяется в данном случае неравенством х > 1. Это уравнение можно было бы решить тем же способом, которым мы решали предыдущее уравнение. Для этого нам пришлось бы дважды применять метод почленного возведения в квадрат.

В данном случае можно предложить и другой прием. Умножим почленно данное уравнение на выражение √x + 7  — √x — 1 , сопряженное* выражению √x + 7  + √x — 1 :

(√x + 7  + √x — 1)(√x + 7  — √x — 1) = 4 (√x + 7  — √x — 1).

В результате, используя формулу для произведения суммы двух чисел   на   их   разность, получим:

(х + 7) — (х — 1) = 4 (√x + 7  — √x — 1).

Отсюда

4 (√x + 7  — √x — 1) = 8,   √x + 7  — √x — 1 = 2.

Теперь мы имеем:

x + 7  + √x — 1= 4,

x + 7  — √x — 1= 2.

Складывая  почленно эти  уравнения,  получаем:

2 √x + 7   = 6,

откуда

x + 7   = 3,    х + 7 = 9,    х = 2.

В  процессе  решения  данного  уравнения  нам  пришлось обе его части умножить на √x + 7  — √x — 1. Но в результате такого преобразования  могли получиться посторонние корни. Вот почему теперь необходимо проверить, является ли полученное число   2   корнем   исходного   уравнения.

При х = 2 левая часть данного уравнения   принимает значение

9 + √1= 3 +1 = 4.

Следовательно,  х = 2 — корень данного  уравнения.

Ответ.   Данное уравнение имеет единственный корень х = 2.

-------------------------------------------------

* Одно выражение, содержащее знак радикала, называется сопряженным другому выражению, содержащему знак радикала, если произведение втих выражений можно записать уже без знака радикала.   Так,   выражение √x + 7  — √x — 1  является сопряженным выражению √x + 7  + √x — 1, поскольку

(√x + 7  + √x — 1)(√x + 7  — √x — 1) = (х + 7) — (х — 1) = 8;

выражение √a + 1 будет сопряженным выражению √a — 1, так как

(√a — 1) (√a + 1) = а —  1, и т. д.

-------------------------------------------------------------

Рассмотренные методы решения иррациональных уравнений таковы,   что,    используя   их,   мы  не  можем   потерять  никаких корней. Зато, как показывают примеры 1 и 2, мы можем получить посторонние  корни. Поэтому еще раз подчеркнем, что проверка полученных корней путем их подстановки в исходные уравнения является важной составной частью решения иррациональных  уравнений.

Упражнения

Решить   уравнения:

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz