СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 68. Степень с натуральным показателем.
Возведение в степень произведения и частного

Пусть а — произвольное действительное число, а n — натуральное число, большее или равное 2. Тогда п-я степень числа а (обозначается аn) есть произведение п чисел, каждое из которых равно а:

Число а в выражении аn называется основанием, a n — показателем степени. Первой степенью действительного числа а называется само это число а. По аналогии с n-й степенью (n > 2) числа а первую степень этого числа следовало бы записывать как а1, но поскольку это выражение равно а, то единицу в записи а1 обычно опускают и пишут просто а.

Степени с натуральными показателями обладают рядом важных свойств, которые мы рассмотрим ниже.

Теорема 1. Степень положительного числа с любым натуральным показателем положительна.
Степень отрицательного числа с четным показателем положительна, а с нечетным показателем отрицательна.

Действительно, если а > 0, то аn как произведение п положительных чисел положительно. Если а < 0, то а2k как произведение четного числа отрицательных чисел положительно, а а2k+1 как произведение нечетного числа отрицательных чисел отрицательно.

Примеры:

(—3)4 = 81  (четное число отрицательных сомножителей);

(—2)5 = —32 (нечетное число отрицательных сомножителей)

Теорема 2. Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель и результаты перемножить, то есть

(а • b)nanbn.

Доказательство.    По  определению  степени

Используя коммутативный и ассоциативный законы умножения, получаем:

что и требовалось доказать.

Мы получили правило возведения в степень для случая двух сомножителей. На самом же деле оно верно для любого числа сомножителей,  например:

(а • b • с • d)n = anbncnd n.

Формулу (а • b)nanbn иногда полезнее  читать   справа налево

an  bn  = (ab)n.

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания этих степеней, а показатель оставить прежним.

Например,

Теорема 3. Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй, то есть

Доказательство. По определению степени и правилу умножения дробей

Упражнения

515.   (У с т н о.) Какие из данных чисел являются положительными и какие — отрицательными:

516.   Упростить  выражения:

517.  Степени каких чисел  не изменяются при произвольном изменении  показателя?

ОТВЕТЫ

517. 0 и 1.

Используются технологии uCoz