СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV
§ 68. Степень с натуральным показателем. Возведение в степень произведения и частного
Пусть а — произвольное действительное число, а n — натуральное число, большее или равное 2. Тогда п-я степень числа а (обозначается аn) есть произведение п чисел, каждое из которых равно а:
Число а в выражении аn называется основанием, a n — показателем степени. Первой степенью действительного числа а называется само это число а. По аналогии с n-й степенью (n > 2) числа а первую степень этого числа следовало бы записывать как а1, но поскольку это выражение равно а, то единицу в записи а1 обычно опускают и пишут просто а.
Степени с натуральными показателями обладают рядом важных свойств, которые мы рассмотрим ниже.
Теорема 1. Степень положительного числа с любым натуральным показателем положительна. Степень отрицательного числа с четным показателем положительна, а с нечетным показателем отрицательна.
Действительно, если а > 0, то аn как произведение п положительных чисел положительно. Если а < 0, то а2k как произведение четного числа отрицательных чисел положительно, а а2k+1 как произведение нечетного числа отрицательных чисел отрицательно.
Примеры:
(—3)4 = 81 (четное число отрицательных сомножителей);
(—2)5 = —32 (нечетное число отрицательных сомножителей)
Теорема 2. Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель и результаты перемножить, то есть
(а • b)n = anbn.
Доказательство. По определению степени
Используя коммутативный и ассоциативный законы умножения, получаем:
что и требовалось доказать.
Мы получили правило возведения в степень для случая двух сомножителей. На самом же деле оно верно для любого числа сомножителей, например:
(а • b • с • d)n = anbncnd n.
Формулу (а • b)n = anbn иногда полезнее читать справа налево
an • bn = (ab)n.
Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания этих степеней, а показатель оставить прежним.
Например,
Теорема 3. Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй, то есть
Доказательство. По определению степени и правилу умножения дробей
Упражнения
515. (У с т н о.) Какие из данных чисел являются положительными и какие — отрицательными:
516. Упростить выражения:
517. Степени каких чисел не изменяются при произвольном изменении показателя?
ОТВЕТЫ
517. 0 и 1.
|