СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним, то есть

а^m• аⁿ = а^m+n.

Доказательство.    По  определению  степени

Например,

2² • 2³ = 2⁵ = 32;     (—3) • (—3)³ = (—3 )⁴= 81.

Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.

Например,

а^m• аⁿ • а^k • а^l = а^m+n+k+l.

Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при т > п

  (a =/= 0)

Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель   дает делимое.   Поэтому доказать формулу    , где a =/= 0, это все равно, что доказать формулу

а^{m — n} •  аⁿ =  а^m

Если т > п, то число т — п будет натуральным; следовательно, по  теореме 1

а^{m — n} •  аⁿ =  а^{(m — n)+n} =  а^m

Теорема  2 доказана.

Например,

Следует обратить внимание на то, что формула

  (a =/= 0)

доказана нами лишь в предположении, что т > п. Поэтому из доказанного   пока   нельзя делать,  например,  таких выводов:

К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались и мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению 3^{— 2}.

Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним, то есть

(аⁿ)^m = а^nm.

Доказательство. Используя определение степени и теорему  1 этого параграфа,  получаем:

что и требовалось доказать.

Например,    (2³)² = 2⁶ = 64;

Формулу (аⁿ)^m = а^nm иногда полезнее читать справа налево:

а^nm = (аⁿ)^m

Упражнения

518 (Устно.) Определить х из уравнений:

1)   2 • 2² • 2³ • 2⁴ • 2⁵ • 2⁶ = 2^x;      3) 4² • 4⁴ • 4⁶ • 4⁸ • 4¹⁰ = 2^x;

2)   3 • 3³ • 3⁵ • 3⁷ • 3⁹ = 3^x;             4)  ¹/₅ • ¹/₂₅ • ¹/₁₂₅ • ¹/₆₂₅ = ¹/5^x .

519. (У с т н о.)   Упростить:

520.   (У с т н о.)   Упростить:

521.   Данные    выражения    представить    в   виде степеней    с одинаковыми  основаниями:

1)  32 и 64;               3) 8⁵ и  16³;               5) 4¹⁰⁰ и 32⁵⁰;

2)   —1000 и 100;     4) —27 и —243;       6) 81⁷⁵ • 8²⁰⁰ и 3⁶⁰⁰ • 4¹⁵⁰.

Упростить выражения:

ОТВЕТЫ