СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 71. Степени с нулевыми и отрицательными показателями

В § 69 мы доказали (см. теорему 2), что при т > п

  (a =/= 0)

Вполне  естественно  желание  распространить эту  формулу и на случай, когда т < п. Но тогда число т — п   будет   либо отрицательным, либо равным нулю. A. мы до сих пор говорили лишь о степенях с натуральными показателями. Таким образом, мы сталкиваемся с необходимостью ввести в рассмотрение степени действительных чисел с нулевыми и отрицательными показателями.

Определение  1.  Любое число а, не равное нулю, в нулевой степени равно единице, то есть при а =/= 0

а⁰ = 1.                            (1)

Например,  (—13,7)⁰ = 1;    π⁰ = 1;   (√2 )⁰ = 1. Число 0 нулевой степени не имеет, то есть выражение   0⁰ не определено.

Определение 2. Если а =/= 0 и п — натуральное число, то

а^—n = ¹/aⁿ                                        (2)

то есть степень любого числа, неравного нулю, с целым отрицательным показателем равна дроби, числитель которой есть единица, а знаменатель — степень того же числа а, но с показателем, противоположным показателю данной степени.

Например,

Приняв эти определения, можно доказать, что при a =/= 0, формула

                           (3)

верна для любых натуральных чисел т и n, а не только для т > п. Для   доказательства  достаточно   ограничиться  рассмотрением двух случаев:  т = п и т < .п,  поскольку   случай   m > n   уже рассмотрен   в   § 69.

Пусть т = п ; тогда .   Значит,   левая часть равенства  (3) равна  1.  Правая же  часть при  т = п обращается  в

а^{m — n} = а^{n — n}  = а⁰ .

Но по определению а⁰  = 1. Таким образом, правая часть равенства (3) также равна 1. Следовательно, при т = п формула (3) верна.

Теперь предположим, что т < п. Разделив числитель  и знаменатель дроби   на а^m, получим:

Так как п > т, то     .   Поэтому   .  Используя определение   степени    с   отрицательным      показателем,    можно записать   .      

Итак,   при , что и требовалось доказать. Формула (3) доказана теперь для любых натуральных чисел  т и п.

Замечание. Отрицательные показатели позволяют записывать дроби без знаменателей. Например,

¹/₃ = 3^—1;       ²/₅ = 2 • 5 ^—1;     вообще,        ^a/_b = а • b^—1

Однако не следует думать,    что    при    такой    записи   дроби превращаются  в  целые  числа. Например, 3^—1  есть   такая   же дробь, как и ¹/₃,    2 • 5 ^—1 — такая же дробь, как и ²/₅, и т. д.

Упражнения

529. Вычислить:

530. Записать без  знаменателей дроби:

1)  ¹/₈,      2) ¹/₆₂₅;    3) ¹⁰/₁₇;    4) —  ²/₃

531. Данные десятичные дроби записать в виде   целых выражений,   используя   отрицательные   показатели:

1)  0,01;           3) —0,00033;         5) —7,125;

2)  0,65;           4) —0,5;                 6)    75,75.

ОТВЕТЫ

3) — 33 • 10^—5