|
|
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ, СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV § 72. Свойства степеней с целыми показателями В § 68 и 69 мы доказали следующие свойства степеней с натуральными показателями;
Все эти свойства оказываются справедливыми и для степеней с любыми целыми (положительными, отрицательными и нулевыми) показателями, если только числа а и b не равны нулю. Докажем, например, что при а =/= 0 аm• аn = аm+n, (1) где т и п — любые целые числа. Поскольку для натуральных чисел т и п формула (1) уже доказана, то нам остается рассмотреть лишь следующие три случая: 1) числа т и п отрицательны; 2) одно из чисел т и п положительно, а другое — отрицательно; 3) хотя бы одно из чисел т и п равно нулю. Случай 1. Пусть т и п — отрицательные числа. Тогда по определению степени с отрицательным показателем
Так как т и п отрицательны, то — m и — п положительны. Поэтому а—m• а—n = а—m—n = а—(m+n) Значит,
Следовательно, аm• аn = аm+n Случай 2. Один из показателей т и п положителен, а другой — отрицателен. Пусть, например, т > 0, а п < 0. По определению степени с отрицательным показателем
Число — п положительно; значит, по доказанному в § 71
Случай 3. Хотя бы один из показателей т и п равен нулю. Пусть, например, т = 0. Тогда по определению нулевой степени аm• аn = а0• аn = = 1 • аn = аn, но аm+n = а0+n = аn . Значит, формула аm• аn = аm+n верна и в этом случае. Таким образом, при а =/= 0 формула аm• аn = аm+n верна для любых целых чисел т и п. Аналогично могут быть доказаны и остальные четыре свойства степеней с целыми показателями, упомянутые в начале этого параграфа. Примеры, 1) 4—5 • 48 = 43 = 64; 2) (32)—4 = 3—8 = 1/6561 3) [(1/5)—2]3= (5—1)—2]3 = [52]3 = 56 = 15 625. В заключение отметим еще два свойства степеней с целыми показателями (заучивать эти свойства не нужно). 6) Если a > b > 0 и п отрицательно, то аn< bn, то есть из двух степеней с положительными основаниями и одинаковыми отрицательными показателями больше та, основание которой меньше. Например, 5—3 < 4—3 (1/125 < 1/64); ( 1/3 )—2 > ( 1/2 )—2 ( 9 > 4 ) и т. д. 7) Если 0 < а < 1, то из двух степеней аm и аn больше та, показатель которой меньше. Если а >1, то из двух степеней аm и аn больше та, показатель которой больше. Под т и п здесь подразумеваются любые целые числа, а не только натуральные. Например, ( 1/2 )—5 > ( 1/2 )—4 или 32 > 16 2—5<2 —4, или 1/32 < 1/16 и т. д. Предлагаем учащимся доказать эти свойства самостоятельно. Упражнения 532. Вычислить:
533. Какое число больше: а) 5—63 или 5—64; в) 5—63 или (1/5)—63 б) 5—63 или 6—63; г) (1/5)63 или 5—63? 534. Упростить выражение
и найти его числовое значение при a = — 4, b = — 1/2 535. При каком показателе п степень аn не зависит от основания а? ОТВЕТЫ
|
. Используя определение степени с отрицательным показателем, запишем:
