СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 73. Функции у = хⁿ при п = 1, 2, 3

Каждому  значению величины  х формула

у = хⁿ,

где n — натуральное число, ставит в соответствие вполне определенное значение величины у. Следовательно, эта формула определяет у как функцию аргумента х. Рассмотрим такие функции при п = 1,  2,  3.

Для исследования функций можно применить Excel

1. Функция у = х. Эта функция определена для всех значеннй х. Поэтому можно сказать, что областью определения функции у = х является совокупность всех чисел.

Данная функция принимает любые числовые значения. Множество всех значений, которые принимает та или иная функция, называется областью изменения этой функции. Поэтому можно сказать, что областью изменения функции у = х также является совокупность всех чисел.

График функции у = х (рис. 94) есть прямая, проходящая через начало координат и разделяющая первый и третий координатные углы пополам. Этот график хорошо иллюстрирует свойства  функции  у = х.

Так, большему значению аргумента х соответствует и  большее значение функции у. Например, при х₂ > х₁    y₂ > y₁  (рис. 94). Такие функции принято называть монотонно возрастающими.

Функция у = х нечетная. Это означает, что при изменении знака аргумента на противоположный  она не  изменяясь по абсолютной величине, изменяет свой знак на противоположный. График функции у = х симметричен относительно начала координат.

2. Функция у = x². Эта функция была подробно изучена нами в главе III. Областью ее определения является множество всех действительных чисел, а областью изменения— множество всех неотрицательных чисел. Графиком этой функции является направленная вверх парабола с вершиной в начале  координат (рис. 95).

Как видно из рисунка, при отрицательных значениях аргумента х функция у = x² монотонно убывает. Это означает, что из двух отрицательных значений аргумента большему соответствует меньшее значение функции. При положительных значениях аргумента функция у = x² монотонно возрастает. Это означает, что из двух положительных значений аргумента большему соответствует большее значение функции. При х = 0 функция принимает наименьшее значение, равное нулю. Наибольшего значения функция не имеет.

Функция у = x² четна. Это означает, что изменение знака аргумента х на противоположный не изменяет значения функции у. График такой функций симметричен относительно оси у.

3. Функция у = x³. Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Функция является нечетной, поскольку (—x)³ = —x³. Поэтому для построения ее графика достаточно составить таблицу значений только для положительных значений аргумента х:

Значения функции для отрицательных х отличаются от значений функции для соответствующих   положительных х только знаками. Например, при х = ¹/₄    у = ¹/₆₄; поэтому при  х = — ¹/₄    у будет равен — ¹/₆₄ ; при х = 2   у =  8; поэтому при х = — 2    у будет равен — 8 и т. д. Теперь, используя составленную таблицу и свойство нечетности функции у = x³, построим график этой функции (рис. 96). Кривая, изображенная на рисунке 96, называется кубической параболой.

Кубическая парабола наглядно демонстрирует, что функция у = x³ всюду монотонно возрастает, принимая любые значения. Областью изменения этой функции является совокупность всех действительных чисел. Следует особо сказать о поведении этой кривой вблизи начала координат. Здесь кубическая парабола подходит к оси абсцисс, как бы одновременно и касаясь этой оси и пересекая  ее.

Упражнения

536.   Какими  общими  свойствами  обладают функции у = х,  у = x²  и  у = x³?

537 Построить  графики функций:

а) у = x³— 1 ; б) у = (х — 1)³;   в) у = (х + 2)³  ;  г) у = |x³|.

ОТВЕТЫ

537. б) и в)