СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 74. Функции у = хⁿ при п = —1 и п = —2

1. Функция у = х^—1. Областью определения функции  у = х^—1, или    у =  ¹/_x, является  множество всех   действительных чисел, кроме нуля. Эта функция нечетна, так как      ¹/_—x=—¹/_x  . Поэтому для построения ее графика достаточно составить таблицу значений только для положительных значений аргумента х:

Используя эту таблицу и свойство нечетности функции у = х^—1, построим ее график (рис. 97). Этот график, как видно из рисунка, состоит из двух кривых,   одна  из   которых   целиком  находится в первом, а другая — в третьем координатном углу. Они симметричны друг другу относительно начала координат. Вместе эти кривые называются гиперболой, а каждая из кривых в отдельности — ветвью гиперболы.

Заметим, что при всех положительных значениях x: функция у = х^—1 монотонно убывает. То же верно и для всех отрицательных значений х. Однако былo бы ошибочно утверждать, что эта функция является монотонно убывающей всюду. Например, значению аргумента x₁ = — 1 соответствует значение функции y₁ = —1, а значению аргумента x₂= +1   —  значение функции y₂= + 1. Имеем: x₁ > x₂ и y₂ > y₁. Для монотонно убывающей функции из x₁ > x₂ должно вытекать y₂ < y_1. Но здесь это условие не выполняется. Следовательно, говорить, что функция у = х^—1 всюду монотонно убывает, нельзя. Однако можно сказать, что эта функция убывает на любом отрезке, на котором она определена (то есть на любом отрезке оси х, не содержащем   нуля).

Функция у = х^—1 принимает любые числовые значения, кроме нуля. Значит, областью ее изменения, так же как и областью определения, является множество всех действительных чисел, кроме  нуля.

Следует обратить внимание на поведение функции у = х^—1 вблизи точки х = 0. Если значения аргумента х неограниченно приближаются к нулю, оставаясь положительными, то соответствующие значения функции у неограниченно растут.  Если же значения аргумента х неограниченно приближаются к нулю, оставаясь отрицательными, то соответствующие значения функции  у  неограниченно   убывают.

2. Функция у = х^—2. Областью определения функции у = х^—2, или , является множество всех действительных чисел, кроме нуля.  Так как

то функция у = х^—2 четна. Поэтому для построения графика этой функции достаточно составить таблицу ее значений только для положительных значений х:

Значения этой функции при отрицательных х равны ее значениям при соответствующих  положительных  х.

Например.(—¹/₄)^—2 = ( ¹/₄)^—2 =16. Используя составленную таблицу и свойство четности функции  у = х^—2, построим ее график (рис. 98).

Он состоит из двух ветвей, одна из которых целиком расположена в первом, а другая— во втором координатном углу. Эти кривые симметричны друг другу относительно оси ординат. Необходимо подчеркнуть, что ни одну из них в отдельности нельзя считать графиком функции у = х^—2. Только взятые вместе, они образуют этот график.

Функция  у = х^—2, или , принимает только  положительные значения. Поэтому график ее расположен целиком свыше оси  х.

Когда значения аргумента х неограниченно растут (или неограниченно убывают), соответствующие значения функции у неограниченно приближаются к нулю, оставаясь все время положительными. При неограниченном приближении значений аргумента х к нулю (как слева, так и справа) соответствующие значения функции у неограниченно растут. Областью изменения функции у = х^—2 является совокупность всех положительных чисел.

Упражнение

538. Построить графики функций:

a) y = (x — l )^—1;       в) у = |x^—1|;       д) у = x^—2 —2;

б) у = (х + 2)^—1;       г) y = | x | ^—1;        е)

ОТВЕТЫ

538. в), д), е)